ESTATÍSTICA Professor Manuel

Introdução Ao pesquisarmos uma dada população estatística, freqüentemente, não é possível fazermos um levantamento de todos os elementos que o compõem. Nesse caso, procuramos obter dados diferentes de uma parte da população estatística, que denominaremos Amostra.

Distribuição de Freqüência Fez-se uma pesquisa com 25 jovens de um bairro paulista, a respeito do time de futebol para o qual torciam. O resultado obtido aparece na lista seguinte: Palmeiras São Paulo Santos Corinthhians Portuguesa Juventus

Construindo uma tabela... Time Freqüência Palmeiras 5 Corinthhians 8 Santos 6 Juventus 1 São Paulo 4 Portuguesa Total ƒ = 25 As freqüências são os nos de elementos da população ou amostra pesquisada que correspondem à faixa do fenômeno estudado.

ƒ Continuando . . . ƒ ƒr = ƒp = (100 . ƒr) % Chamamos de freqüência relativa (ƒr), a razão entre a freqüência correspondente (ƒ) e o nº total de pesquisados (ƒ), ou seja: ƒr = ƒ ƒ É comum a apresentação da freqüência relativa em porcentagem: ƒp = (100 . ƒr) %

Continuando . . . Na situação que estamos examinando, a porcentagem de torcedores do Palmeiras é: ƒp = (100 . 0,2) = 20%

Construindo uma nova tabela Time Freqüência (ƒ) Freqüência (ƒr) Porcentagem Palmeiras 5 5/25 = 0,20 20% Corinthhians 8 8/25 = 0,32 32% Santos 6 6/25 = 0,24 24% Juventus 1 1/25 = 0,04 4% São Paulo 4 4/25 = 0,16 16% Portuguesa Total ƒ = 25 100%

Construindo uma nova tabela Obs.: São sempre válidos os seguintes resultados: Total ƒ = 25 1 100% ƒ ƒr ƒ Somatório da Freqüência Relativa Somatório da Freqüência Relativa em Porcentagem Somatório da Freqüência

Gráfico de Barras ou de Colunas No gráfico de barras, colocamos as freqüências num eixo horizontal usando retângulos de mesma largura, cujos comprimentos são proporcionais às freqüências.

Gráfico de Barras ou de Colunas

Gráfico de Setores Portuguesa: 4% de 360° é 14,4° Nos gráficos de setores, desenhamos um círculo e o dividimos em setores que tenham áreas proporcionais às porcentagens (ou freqüências). São Paulo: 16% de 360° é 57,6° Palmeiras: 20% de 360° é 72,0° Juventus: 4% de 360° é 14,4° Santos: 24% de 360° é 86,4° Corinthians: 32% de 360° é 115,2°

10 observações do outro lado Mediana Chamamos de mediana (Md) de uma distribuição o valor que ocupa o posição central quando todos os valores são colocados em ordem. Exemplo: Consideremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo: 1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 21 observações 10 observações de um lado 10 observações do outro lado Md

Mediana Obs.: Se o nº dos valores da lista for par, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais quando todos eles são colocados em ordem. Exemplo: Consideraremos uma pesquisa na qual foram obtidos os resultados que constam na seguinte lista: 1 2 3 4 5 6 7 8 4 observações de um lado 4 observações do outro lado Temos: 4+5 Md = 2 = 4,5

Mediana Exemplo: Determine a mediana da distribuição da freqüência dada pela tabela abaixo: Nº de Pontos Freqüência 7 2 10 4 12 6 11 8 Total 49 Solução: Neste caso, em que há 49 valores, a posição central é a 25ª, observando as freqüências, percebemos que: 7 + 10 < 25 e 7 + 10 + 12 > 25; logo, temos: Md = 4.

Média Chamamos de média (M) de uma distribuição a média aritmética dos valores dados. Exemplo: Numa pesquisa foram obtidos os resultados que constam na lista abaixo: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 M = 8 = 4,5

Moda “O mais freqüente” Exemplo 1: 1 2 3 3 3 4 5 6 Moda = 3 Exemplo 2: 1 2 3 4 Moda = Não existe (estado amodal)

Desvio Consideraremos a distribuição cujos resultados constam na lista seguinte: 4 6 7 8 10 Sabemos que a média desta distribuição é: 4 + 6 + 7 + 8 + 10 M = 5 = 7 Chamamos de desvio de cada valor a diferença entre esse valor e a média da distribuição. Assim: o desvio do valor 4 é 4 - 7 = - 3; o desvio do valor 6 é 6 – 7 = - 1; o desvio do valor 7 é 7 – 7 = 0; o desvio do valor 8 é 8 – 7 = 1; o desvio do valor 10 é 10 – 7 = 3.

Desvio Médio Chamamos de desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo analisado, o desvio médio: DM = | -3 | + | -1 | + | 0 | + | 1 | + | 3 | 5 =1,6 Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista abaixo: x1 x2 xn E cuja média é M, define-se como desvio médio dessa distribuição a expressão: | x1 – M| + | x2 – M| + . . . + |xn – M| DM = n

Variância Chamamos de variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios. No exemplo em questão, a variância é: V = (-3)2 + (-1)2 + (0)2 + 12 + 32 5 = 4 Generalizando, tendo-se uma distribuição cujos resultados constam na lista seguinte: x1 x2 xn e cuja média é M, define-se com variância dessa distribuição a expressão: (x1 – M)2 + (x2 – M)2 + . . . + (xn – M)2 V = n

Desvio - Padrão Chamamos de desvio-padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância: DP = Vv No nosso exemplo, o desvio-padrão é: DP = Vv = V4 = 2

Exercícios MODA = 3 MEDIANA = 3 0+1+1+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+5+5+5+5 MÉDIA = 62 1+2+2+8+3+4 MÉDIA = = 3,1 20

 = 42% de 360º 1512 10  = 42 x 360º = 100  = 151,2%

0+0+1+1+1+2+2+3+4+4+4+5 12 MaGols = 27 12 MaGols = = 2,25

23 x 5 + 5 x 9 + 10 x 8 + 9 x 7 + 13 x 3,7 23 + 5 + 10 + 9 + 13 Ma = 351,1 60 Ma = Ma = 5,85

A r = = 0,45 576 1280 37,5% + 45% = = 82,5% 37,5 rp = 45% 100% - 82,5% = = 17,5% B 360º 100% 135º X% 17,5% 45% 135 x 100 360 X = C 17,5% de 1280 = = 224 X = 37,5%