INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Programação Linear – Parte 2b ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre

Última Aula Construção de modelos de programação linear Hoje verificaremos a modelagem dos exercícios pendentes da lista e utilizaremos uma linguagem de programação matemática para resolvê-los. Nas aulas seguintes veremos a fundo o método de resolução que esta linguagem utiliza

Roteiro Construção passo a passo de modelos de Programação Linear Uso da linguagem de programação LINDO para resolução dos modelos

Passos para Modelagem de Programação Matemática  Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados  Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados  Elabore uma representação informal do problema  Elabore um modelo de programação matemática do problema

Um Problema de Transporte Powerco tem 3 usinas de energia elétrica que suprem a necessidade de 4 cidades. Cada usina pode suprir a seguinte quantidade de milhões de kilowatts-hora de eletricidade: U1 = 35; U2 = 50; U3 = 40. As demandas de pico nas 4 cidades ocorrem na mesma hora e são (em milhões de KWh): C1 = 45; C2 = 20; C3 = 30; C4 = 30. Os custos de se enviar 1 milhão de kwh de eletricidade de uma usina para uma cidade depende da distância que a eletricidade deve percorrer (tabela a seguir). Formule um PL para minimizar o custo de atender pelo menos a demanda de pico das cidades. CUSTO (x106 KWh) CIDADE USINA C1 C2 C3 C4 U1 8 6 10 9 U2 12 13 7 U3 14 16 5

 Objetivo do Problema Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades CUSTO (x106 KWh) CIDADE USINA C1 C2 C3 C4 U1 8 6 10 9 U2 12 13 7 U3 14 16 5

 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Limitações de capacidade produtiva das usinas Demanda mínima das cidades USINA PRODUÇÃO MÁXIMA (x106 KWh ) U1 35 U2 50 U3 40 CIDADE DEMANDA MÁXIMA MENSAL C1 45 C2 20 C3 30 C4

 Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades, sujeito às seguintes restrições: a quantidade de energia elétrica enviada pelas usinas não pode exceder a produção horária das usinas a quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior às suas demandas de pico

 Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão O custo total de transporte é determinado pela quantidade de eletricidade enviada de cada usina p/ cada cidade xi j = 106 KWh produzidos na usina i e enviados à cidade j b) Função Objetivo (FO) Min 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (custo de transporte da usina 1) + 9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (custo de transporte da usina 2) + 14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (custo de transporte da usina 3)

 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições A quantidade de energia elétrica enviada das usinas não pode exceder suas produções horárias Restrições de suprimento x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (suprimento de U1) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 (suprimento de U2) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 (suprimento de U3) A quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior a suas demandas de pico Restrições de demanda x11 + x21 + x31 ≥ 45 (demanda de C1) x12 + x22 + x32 ≥ 20 (demanda de C2) x13 + x23 + x33 ≥ 30 (demanda de C3) x14 + x24 + x34 ≥ 30 (demanda de C4)

 Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal xij ≥ 0 (i=1..3, j=1..4) (106 KWh )

Modelo de Programação Linear Min 8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+ 14x31 +9x32 +16x33 +5x34 sujeito a: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (restrições de suprimento) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x11 + x21 + x31 ≥ 45 (restrições de demanda) x12 + x22 + x32 ≥ 20 x13 + x23 + x33 ≥ 30 x14 + x24 + x34 ≥ 30 xij ≥ 0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) (restrições de sinal)

Representação Gráfica X11 U1 X12 C2 U2 C3 U3 C4

Um Problema de Planejamento da Produção Uma companhia possui 2 fábricas, A e B. Cada fábrica faz 2 produtos, padrão e deluxe. Uma unidade de padrão resulta em lucro de $10 e uma unidade de deluxe em um lucro de $15. Cada fábrica utiliza 2 processos (lixamento e polimento) para produzir esses produtos. A fábrica A tem uma capacidade semanal de lixamento de 80 horas e de polimento de 60 horas. Para a fábrica B, essas capacidades são 60 e 75 horas semanais. Os tempos de lixamento e polimento em horas para uma unidade de cada produto em cada fábrica são dados na Tabela 2. Cada unidade de produto usa 4 kgs de matéria-prima e dos 120 kgs disponíveis, 75 kgs foram alocados à fábrica A e 45 kgs à fábrica B. Formule um PL para cada fábrica que maximize o lucro.

 Objetivo do Problema Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe PRODUTO LUCRO ($) Padrão 15 Deluxe 20

 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Limitações de capacidade produtiva das fábricas PROCESSO FÁBRICA A FÁBRICA B Padrão Deluxe LIXAMENTO 4 2 5 3 POLIMENTO 6 MATÉRIA PRIMA QUANTIDADE MÁXIMA DO RECURSO LIXAMENTO POLIMENTO MATÉRIA PRIMA FÁBRICA A 80 60 75 FÁBRICA B 45

 Representação Informal do Problema Deseja-se (para cada uma das fábricas!) Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe, sujeito às seguintes restrições: as horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal as horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal a quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

 Formulação do Modelo de Programação Matemática (para a Fábrica A) a) Variáveis de Decisão O lucro é determinado pela quantidade de produto padrão e deluxe produzidos na fábrica x1 = quantidade de produtos padrão produzidos na fábrica A /semana x2 = quantidade de produtos deluxe produzidos na fábrica A /semana b) Função Objetivo (FO) Max { 10x1 + 15x2 } ($/semana) (para a fábrica A)

 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições As horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4x1 + 2x2 ≤ 80 (hrs/semana) As horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2x1 + 5x2 ≤ 60 (hrs/semana) A quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 4x1 + 4x2 ≤ 75 (kgs/semana) d) Restrições de sinal xi ≥ 0 (i=1..2) (unidades de produto/semana)

Modelo da Fábrica A Modelo da Fábrica B Max 15x1 + 20x2 (lucro da fábrica) sujeito a: 4x1 + 2x2 ≤ 80 (lixamento) 2x1 + 5x2 ≤ 60 (polimento) 4x1 + 4x2 ≤ 75 (matéria-prima) x1 ≥ 0 (sinal) x2 ≥ 0 Modelo da Fábrica B Max 15x3 + 20x4 (lucro da fábrica) 5x3 + 3x4 ≤ 60 (lixamento) 5x3 + 6x4 ≤ 75 (polimento) 4x3 + 4x4 ≤ 45 (matéria-prima) x3 ≥ 0 (sinal) x4 ≥ 0

Um Problema da Dieta Minha dieta requer que toda a comida que eu coma venha dos 4 grupos alimentares básicos (chocolate, sorvete, refrigerante e torta). No momento, os 4 alimentos seguintes estão disponíveis para consumo: brownies, sorvete de chocolate, coca-cola e torta de abacaxi. Cada brownie custa 0,50, cada bola de sorvete de chocolate custa 0,20, cada garrafa de coca-cola custa 0,30 e cada pedaço de torta de abacaxi custa 0,80. A cada dia, preciso ingerir pelo menos 500 calorias, 6 onças de chocolate, 10 onças de açúcar e 8 onças de gordura. O conteúdo nutricional por unidade de cada alimento é mostrado abaixo. Formule um PL que possa ser usado para satisfazer meus requerimentos nutricionais diários a um custo mínimo. ALIMENTO CALORIAS CHOCOLATE (on) AÇÚCAR (on) GORDURA (on) BROWNIE 400 3 2 BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 200 4 GARRAFA DE COCA COLA 150 1 PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 500 5

 Objetivo do Problema Minimizar o custo com a compra dos alimentos CUSTO ($/UNIDADE) BROWNIE 0,50 BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 0,20 GARRAFA DE COCA COLA 0,30 PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 0,80

 Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo Requerimentos nutricionais diários NUTRIENTE REQUERIMENTO DIÁRIO CALORIAS 500 CHOCOLATE (on) 6 AÇÚCAR (on) 10 GORDURA (on) 8

 Representação Informal do Problema Deseja-se Minimizar o custo com a compra dos alimentos de minha dieta, sujeito às seguintes restrições: a quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário a quantidade de chocolate ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário a quantidade de açúcar ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário a quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

 Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão O custo total de minha dieta é determinado pela quantidade de alimentos de cada tipo comprados. x1 = quantidade de brownies comprados /dia x2 = bolas de sorvete de chocolate compradas /dia x3 = garrafas de coca-cola compradas /dia x4 = pedaços de torta de abacaxi compradas /dia b) Função Objetivo (FO) Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4 ($/dia)

 Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições A quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário 400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (cal/dia) A quantidade de chocolate ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 3x1 + 2x2 ≥ 6 (on/dia) A quantidade de açúcar ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (on/dia) A quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao seu requerimento diário 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (on/dia)

 Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal xi ≥ 0 (i=1..4) (unidades de alimento/dia)

Modelo de Programação Linear Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4 sujeito a: 400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (requerimento de calorias) 3x1 + 2x2 ≥ 6 (requerimento de chocolate) 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (requerimento de açúcar) 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (requerimento de gordura) xi ≥ 0 (i=1..4) (restrições de sinal)