Universidade de Aveiro Electrostática 03/04 Universidade de Aveiro

Estrutura Organizacional Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Estrutura Organizacional Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão Extra: Cálculo Vectorial

Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão A Electrostática dedica-se ao estudo dos fenómenos associados às cargas eléctricas em repouso. Desde há milhares de anos que fenómenos electrostáticos têm vindo a ser documentados. O acontecimento mais antigo que se conhece provém da Grécia Antiga, mais propriamente, do século VI A.C., pelo filósofo Táles de Mileto. Verificou que um pedaço de âmbar obtinha a propriedade de atrair pequenos objectos quando friccionado por um pano de lã (exemplo). No entanto, tudo o que se sabia sobre a electrostática e força eléctrica era qualitativo, apenas era possível descrever o que se observava nas experiências. Não era possível medir as forças intervenientes nem quantidade de cargas. Mas o grande avanço quantitativo foi dado pelo francês Charles Coulomb (1736-1806). Foi este cientista que desenvolveu um método e um aparelho para medir a força entre duas cargas eléctricas. O aparelho chama-se balança de torção.

A Balança de Torção de Coulomb Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática A Balança de Torção de Coulomb Sugestão: Tente construir uma Balança de Torção, substituindo, é claro, os materiais mais caros e difíceis de obter por outros mais baratos.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática A balança de Coulomb tem 1 metro de altura e é constituída por um tubo cilíndrico assente noutro cilindro mais largo, ambos em vidro e ocos. No topo existe um micrómetro e um sistema de fixação do fio de prata. O fio passa pelo interior do tubo mais estreito e sustenta na extremidade um peso e um braço horizontal. Numa das extremidades deste braço está uma bola de medula de sabugueiro com 5 mm de diâmetro e na outra um disco de papel com funções de equilíbrio do braço e de redução de oscilações. Outro fio suportando outra bola idêntica está introduzido no cilindro inferior (esta bola ficará “fixa”). No interior e a meio da parede do cilindro inferior existe um papel com uma escala graduada. O “zero” do aparelho obtém-se alinhando visualmente o primeiro fio com o zero da escala graduada, rodando o micrómetro. As duas esferas devem ficar em contato.

Electrostática (a) Força de Coulomb (b) Campo Eléctrico Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão (a) Força de Coulomb (b) Campo Eléctrico (c) Lei de Gauss (d) Potencial (e) Equação de Laplace e de Poisson Acetato 21

Electrostática Força de Coulomb: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Força de Coulomb: Charles Coulomb (1736-1806), foi o físico francês que elaborou experiências que lhe permitiram chegar à seguinte conclusão: “Quando se consideram dois corpos carregados (supostamente pontuais), a intensidade das forças atractivas ou repulsivas que se exercem entre si, são directamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre elas, a intensidade dessas forças também depende do meio em que as cargas se encontram.” Sendo assim a expressão matemática que representa o enunciado anterior é: (eq. 1-1) .

Electrostática Nesta expressão as variáveis presentes representam: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Nesta expressão as variáveis presentes representam: _q1 e q2: valor das cargas (em coulomb) que interagem, tomando estas, o seu sinal negativo ou positivo; _r: valor da distância (em metros) que separa as cargas q1 e q2, supostamente pontuais; _ : (←LINK) constante de proporcionalidade correspondente ao meio onde se encontram as cargas, no vazio, esta constante toma o valor de 8.9874*109 N*m2/C2. K

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática As forças aplicadas em cada uma das cargas representam a força eléctrica que uma carga exerce sobre a outra, ou seja: é a força eléctrica exercida pela carga q1 na carga q2, o vector que representa essa força é desenhado em q2.

Electrostática Obtenção da Constante de Coulomb: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Obtenção da Constante de Coulomb: Recordando a expressão que traduz a Lei de Coulomb: (eq. 1-2) Vemos que existe uma constante k, que se chama Constante de Coulomb. O seu valor pode ser obtido da seguinte forma através de outras três constantes. Essas constantes são: c – velocidade da luz, 0 – permitividade eléctrica do espaço livre e 0 – permitividade magnética do espaço livre. A permitividade magnética do meio é tida como tendo o exacto valor de: (eq. 1-3)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Como a expressão da velocidade da luz relaciona as três constantes referidas: , onde c = 2.99792458 x 108 m/s  3 x 108 m/s (eq. 1-4) Então é possível, a partir da (eq. 1-4) obter o valor da permitividade eléctrica no espaço livre: 0 = 8.854187817 x 10-12 F/m  8.85 x 10-12 F/m A constante de Coulomb é dada pela expressão: (eq. 1-5)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Fazendo as respectivas substituições obtemos o valor de k: N m2/C2 = Constante de Coulomb. Ainda é importante lembrar que as constantes 0 e 0 são referentes ao espaço livre, caso o espaço a considerar seja dieléctrico ou magnético, os seus valores, bem como, os seus nomes são diferentes: permitividade relativa do Campo Eléctrico e Magnético, respectivamente.

Electrostática Campo Eléctrico de uma Carga Pontual: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Campo Eléctrico de uma Carga Pontual: Através da Lei de Coulomb, é possível calcular o Campo Eléctrico gerado por uma carga pontual num determinado ponto no espaço, aliás este é o método mais usual de o fazer. Sabendo que a Lei de Coulomb calcula a força eléctrica exercida entre duas cargas pontuais, q1 e q2, para obter o Campo Eléctrico num determinado ponto do espaço, basta considerar uma delas como a carga fonte, seja q1. Dividindo por q2 a expressão que traduz a Lei de Coulomb obtemos o Campo Eléctrico criado pela carga pontual q1 no ponto P, como a seguir se mostra, sendo q1 a carga fonte e dividindo em ambos os lados da equação por q2:

Electrostática Lei de Gauss: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Lei de Gauss: Johann Gauss (1777-1855) estabeleceu a lei que permite calcular o fluxo de campo eléctrico através de uma superfície. No entanto, existem limitações à sua utilização. Para que o seu uso seja eficiente, é necessário que o produto escalar entre o vector campo eléctrico e o vector perpendicular à superfície seja facilmente obtido e que a superfície em causa seja fechada (superfície gaussiana). Facilmente se conclui que se a distribuição de cargas apresentar grande simetria, estaremos numa situação privilegiada para usar a Lei de Gauss. Definindo os vários tipos de simetria, temos: _ simetria planar; _ simetria cilíndrica ou axial; _ simetria esférica.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática _0 : constante de permeabilidade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2; _ : vector de campo eléctrico; _ : vector perpendicular à superfície gaussiana; _ : fluxo de campo eléctrico através de uma superfície fechada. Supondo que a carga q está envolvida por uma superfície fechada, a Lei de Gauss estabelece que: Nesta equação, as variáveis são:

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Electrostática Potencial Eléctrico: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Potencial Eléctrico: Potencial Eléctrico é a designação mais comum para: Energia Potencial por Unidade de Carga. (eq. 1-6) Mas é também, uma propriedade de um ponto P qualquer, que se situe no espaço vizinho ao da carga q. (eq. 1-7) .

Electrostática Nesta expressão as variáveis presentes representam: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Nesta expressão as variáveis presentes representam: _: constante matemática, que representa o valor 3,1415; _0: constante de permitividade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2; _q: valor da carga (em coulomb) presente no corpo; _r: distância (em metros) da carga q ao ponto P; Ou seja, independentemente da quantidade de carga existente num determinado ponto, o seu potencial é sempre o mesmo, na medida em que se aumentarmos o número de cargas no ponto P também estaremos a aumentar a energia o mesmo número de vezes. Finalizando, se um corpo possui 100 unidades de carga, a sua energia será 100 vezes maior, logo a sua energia por unidade de carga será a mesma que um corpo que tenha apenas uma unidade de carga.

Electrostática Equação de Laplace: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Equação de Laplace: A equação de Laplace é útil para o cálculo do Potencial Eléctrico numa região do espaço livre de cargas, e essa relação é apresentada da seguinte forma: (eq. 1-8) Esta operação matemática denomina-se por divergência do gradiente de uma função, mas é mais conhecida por Laplaciano. O Laplaciano pode ser expresso em vários sistemas de coordenadas para desta forma se retirar partido de uma distribuição de cargas simétrica. De seguida é apresentado o Laplaciano em coordenadas esféricas, por ser esta a forma mais simples de calculo do Potencial Eléctrico V, para o caso que estamos a tratar – Densidade de Carga esférica. (eq. 1-9)

Electrostática Equação de Poisson: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Equação de Poisson: A utilidade da equação de Poisson é semelhante à anterior, também nos permite calcular o Potencial Eléctrico, mas numa região do espaço onde existem cargas. Assim, esta nova relação é apresentada da seguinte maneira: (eq. 3) Da mesma forma, que no caso anterior, é possível a representação da Equação de Poisson noutros sistemas de coordenadas. Aqui apenas indicaremos que basta igualar o Laplaciano (eq. 5) ao valor -4.

Electrostática CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA UNIFORME Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA UNIFORME Como exemplo iremos calcular a intensidade campo eléctrico E , tanto dentro como fora da distribuição esférica de carga uniforme, usando os métodos (a), (b), (c) e (d). A distribuição tem um raio R e uma densidade volúmica de carga eléctrica r. O nosso problema é encontrar a intensidade de campo eléctrico como função da distância r do centro O da esfera ao ponto P. Deverá ser óbvio, por simetria, que deverá ser independente das outras duas coordenadas esféricas q e j. Usamos o índice 0 para indicar que estamos a calcular o campo fora da distribuição de carga, e o índice i para indicar que estamos a calcular o campo no interior da distribuição de carga.

Electrostática Cálculo de usando a Lei de Coulomb: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão Cálculo de usando a Lei de Coulomb: Cálculo de usando o Potencial: Cálculo de usando a equação de Laplace: Cálculo de usando a Lei de Gauss:

Electrostática CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:

Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Lei de Coulomb Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Lei de Coulomb Podemos encontrar a contribuição para E0 devido à carga rdr’ no elemento de volume dr’ e depois integrar a expressão resultante por toda a esfera. É conveniente usar coordenadas esféricas, visto que a carga tem simetria esférica. Assim, o elemento de volume é . A carga neste volume produz um campo no ponto P que se direcciona afastando-se do elemento de volume se r>0, e aproxima-se se r<0. A sua magnitude, em módulo, será: (eq. 2-33)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática onde s é a distância do elemento de volume ao ponto P. O eixo ao longo do qual q=0 pode ser assumido como a linha OP. O elemento de intensidade de campo eléctrico é escrito como d3eO, visto ser uma diferencial de 3ª ordem. Deveria ser óbvio, através da simetria de distribuição de carga, que E0 tem de ser radial. Por exemplo, enquanto o elemento de carga mostrado na figura 2-5 produz um campo eléctrico de intensidade d3eO que não é ao longo do raio OP, existe outro elemento de carga simetricamente colocado que produz um campo simetricamente orientado com a mesma magnitude, e o resultado é um campo ao longo de OP. Sendo assim, consideremos apenas a componente radial de eO, e: (eq. 2-34)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Figura 2-5. Um elemento de carga no ponto (r’,q) dentro de uma distribuição de carga esférica uniforme produz um elemento de intensidade de campo electrostático no ponto P fora da esfera. A projecção de no eixo que cruza P e o centro da esfera é .

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática A integração sobre o ângulo de rotação j’ em volta de OP é linear, e o ângulo j’ varia entre 0 e 2p. Podemos levar a cabo as outras duas integrações usando r’ e s como variáveis independentes. Para o fazermos eliminamos a com a ajuda da lei do coseno. (eq. 2-35) De igual modo: (eq. 2-36)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Agora desejamos eliminar senq’.dq’ da expressão para d3EO. Podemos determinar senq’.dq’ em função de r’, r, s por diferenciação da equação anterior. Aqui temos de nos lembrar que r é uma constante e que r’ é tomada como constante quando da integração da eq. 2-36, tomando ambas r e r’ como constantes, e assim: (eq. 2-37) Se substituirmos as equações 2-35 e 2-37 na equação 2-34 e integrarmos: (eq. 2-38) (eq. 2-39)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Onde Q é a carga total (4/3)pR3r, e onde é o versor direccionado para fora. O vector é direccionado para fora ao longo de OP de Q>0, e para dentro ao longo de OP se Q<0. Este resultado é o mesmo como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.

Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando o Potencial Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando o Potencial Para calcular a intensidade do campo através do potencial VO usamos o mesmo elemento de carga anterior. Assim, pela definição de VO: (eq. 2-40) Agora não existe o elemento cos(a), visto que VO é um escalar. Para executar a integração, integramos q’ e integramos através de j’, s e r’ como fizemos anteriormente. O resultado é: (eq. 2-41)

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática O potencial eléctrico VO, como EO, é o mesmo tal como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera. Para calcular , calculemos . Por simetria, tem de ser radial, assim: (eq.2-42) Como anteriormente.

Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Equação de Laplace Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Equação de Laplace Por hipótese, r=0 fora da esfera, e: (eq. 2-43) Agora por simetria, VO é independente de q e j. Portanto: (eq. 2-44) (eq. 2-45) (eq. 2-46) Onde A é uma constante de integração. Deveremos determinar o seu valor mais tarde, após sabermos o valor de .

Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Lei de Gauss Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO EXTERIOR: Usando a Lei de Gauss A maneira mais simples de calcular a intensidade do campo eléctrico neste caso é usar a Lei de Gauss. Considerando uma esfera imaginária de raio r>R concêntrica à esfera carregada. Nós sabemos que tem de ser radial. Assim, de acordo com a Lei de Gauss: (eq. 2-47) (eq. 2-48) Se a carga não fosse distribuída uniformemente e simetricamente, seria uma função de q e j, e não seria constante através da esfera imaginária. A Lei de Gauss só daria o valor médio da componente normal de através da esfera imaginária.

Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Vamos calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto P no interior da distribuição de carga, como na figura 2-6. Podemos prosseguir como no caso do ponto externo, primeiro escrevemos a contribuição de uma elemento de carga, tanto para como para Vi, e depois integrar para toda a distribuição de carga. No entanto, como a integração é difícil de executar, simplificaremos o problema dividindo-o em duas partes distintas. Desenhemos uma esfera imaginária de raio r, que passa pelo ponto P, figura 2-6, para dividir a distribuição de cargas em duas partes. Depois calculemos a intensidade de campo eléctrico devido à carga contida na esfera de raio r e depois devido à carga na esfera oca exterior, com raio interior r e raio exterior R. Pelo princípio da sobreposição, a intensidade de campo resultante para os dois sistemas de cargas terá de ser a soma vectorial das duas componentes da intensidade do campo.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática A separação da carga em duas partes é especialmente vantajosa neste caso porque, como veremos, o campo produzido pela esfera oca exterior num ponto da sua superfície interna, em qualquer ponto da concavidade, é zero. Isto pode ser demonstrado do seguinte modo sem integrar. Desenhemos um pequeno cone com um ângulo sólido d, tendo o seu vértice no ponto P e estendendo-o em ambas as direcções, figura 2-6, e consideremos os volumes que estes pequenos cones interceptam, dentro da concavidade interna de raio r’ e espessura dr’, concêntrica à esfera. A distância entre estes dois volumes e P são s1 e s2.

Electrostática Problema Seleccionado Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão Figura 2-6. Para encontrar a intensidade do campo no ponto P dentro de uma distribuição uniforme de carga esférica, dividimos a esfera numa concha e num núcleo com a ajuda de uma esfera imaginária de raio r. Assim, qualquer par de elementos de volume, tais como os mostrados na concha produzem os mesmos campos no ponto P, mas opostos. O campo no ponto P é assim devido somente às cargas do núcleo. A imagem mostra um dos elementos de volume em detalhe.

Electrostática Na esquerda o elemento de volume é: , (eq. 2-49) Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Na esquerda o elemento de volume é: , (eq. 2-49) e na direita é : . (eq. 2-50) A carga no elemento de volume esquerdo contribui, em P, com um campo de magnitude: , (eq. 2-51) que é direccionado para o exterior se >0.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Do mesmo modo, a carga na direita contribui com um campo idêntico, oposto em direcção, como resultado os dois campos anulam-se. Como este resultado é válido para qualquer d e qualquer dr’, o campo devido à parte oca da esfera num ponto da superfície interior, ou qualquer ponto dentro da concavidade, é zero. Um modo mais simples de demonstrar que o campo é nulo num ponto interior de uma esfera oca é usar a Lei de Gauss. Imagine uma esfera concêntrica no interior da concavidade. De acordo com a Lei de Gauss, a média da intensidade do campo eléctrico através desta superfície é zero, visto não haver cargas no seu interior. Agora, a simetria do problema, obriga que o campo eléctrico, se existir, seja radial e o mesmo por toda a superfície da esfera. Assim a intensidade do campo eléctrico tem de ser zero em todos os pontos em qualquer superfície esférica dentro da concavidade.

Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Lei de Coulomb Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Lei de Coulomb Com o campo eléctrico dentro da concavidade oca da esfera excluído desta forma, podemos calcular a contribuição do que é devido à esfera interna de raio r, tal como fizemos no caso do ponto externo. . (eq. 2-52) Assim, a intensidade do campo eléctrico cresce linearmente com r, dentro da distribuição esférica de carga.

Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando o Potencial Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando o Potencial Podemos chegar ao mesmo resultado começando por calcular o potencial Vi como função de r dentro da distribuição de carga. Para o fazer poderíamos avançar por integração directa. No entanto, será de novo mais fácil e mais instrutivo dividir a distribuição de carga em duas partes como anteriormente. Consideremos em primeiro lugar a esfera oca. Vimos que não há campo eléctrico no interior da concavidade oca da esfera de carga. Assim todos os pontos dentro da concavidade deverão estar todos com o mesmo potencial e, em vez de calcular o potencial num ponto interior à superfície da concha, podemos calcular o potencial no centro da concha, onde a integração é mais facilmente executada. Escolhemos para este volume elementar uma concha fina de raio r’ e espessura dr’. Assim a parte de Vi devido à esfera oca é:

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática (eq. 2-53) De seguida calculemos o potencial devido à esfera de raio r. Os cálculos são os memsos para o ponto exterior, e podemos usar a eq. 2-41. Este termo é: . (eq. 2-54) Somando estas duas contribuições, obtemos o potencial Vi num raio r dentro da distribuição esférica de carga: (eq. 2-55)

Electrostática O potencial Vi, também pode ser escrito como: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática O potencial Vi, também pode ser escrito como: (eq. 2-56) Onde o 2º termo é o potencial na superfície da esfera, e o 1º termo é o incremento acima do valor da superfície para os pontos interiores. Assim: . (eq. 2-57)

Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Equação de Poisson Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Equação de Poisson Agora temos dentro da distribuição de carga, (eq. 2-58) (eq. 2-59) (eq. 2-60) (eq. 2-61) (eq. 2-62) Onde B é uma constante de integração.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática É intuitivamente óbvio que não se pode tornar infinito no centro de uma distribuição de carga uniforme e esférica, portanto B tem de ser zero, e: . (eq. 2-63) Encontramo-nos, agora, em posição de encontrar o valor da constante de integração A, quando calculámos com a equação de Laplace. Não deveriam os dois valores encontrados para a intensidade de campo , um válido no interior e outro válido no exterior (eq. 2-39 e eq. 2-52), serem iguais na superfície? De acordo com a Lei de Gauss, eles poderiam ser diferentes se tivéssemos uma distribuição de densidade de carga superficial como na superfície de um condutor carregado. Mas, assumimos, que a esfera carregada tem uma densidade volúmica de carga uniforme () para fora do raio R e assim não poderá haver descontinuidade em:

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática na superfície. Assim os nossos dois valores de têm de ser iguais na superfície: (eq. 2-64) (eq. 2_65) e a equação 2-46 dá, de facto, o correcto valor para .

Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Lei de Gauss Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática CAMPO NUM PONTO INTERIOR: Usando a Lei de Gauss Para calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto interior a partir da Lei de Gauss, desenhemos uma esfera imaginária de raio r através do ponto P. A simetria requer que a intensidade de campo eléctrico seja radial, assim: (eq. 2-66) (eq. 2-67) como anteriormente. A figura 2-7 mostra e V para a nossa distribuição de carga de raio R, como função da distância radial r.

Nota: Estes exemplos só podem ser usados com o programa Matlab. Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão Exemplos (Matlab) : Potencial Campo Eléctrico Nota: Estes exemplos só podem ser usados com o programa Matlab.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática clear x=[ ] y=[ ] disp('O valor de') E0=8.85e-12 %E0=Constante R = input('Valor do Raio R[0-5]: ') while (R<=0 | R>5) if (R<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (R>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') end IT = input('Precisão 0 - R : ') Q = input('Valor da carga da esfera (Q=400 ideal) : ') for r = 0:IT:R; x=[x,r]; %Imprimir valores y=[y,((1/E0)*(((R^2)/2)-((r^2)/6)))]; %no ecran N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') while (N1<=R | N1>30) if (N1<=R) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') end ITI = input('Precisão R - R1 : ') for R = (r):ITI:N1; %Valores para o Raio [5-10] com precisao de 0.5 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((Q)/(4*pi*E0*R))]; %no ecran plot (x,y,'b') xlabel('t(s)') ylabel('V') legend('linha do Potencial V') title('Potencial Eléctrico')

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática T=(N-0.1) N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') while (N1<=N | N1>30) if (N1<=N) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') end ITI = input('Precisão R - R1 : ') for R = T:ITI:N1; %Valores para o Raio1 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((400)/(4*pi*E0*R^2))]; %no ecran plot (x,y,'b') xlabel('t(s)') ylabel('E') legend('linha do campo E') title('Campo Eléctrico') clear x=[ ] y=[ ] disp('O valor de') E0=8.85e-12 %E0=Constante N = input('Valor do Raio R[0-5]: ') while (N<=0 | N>5) if (N<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (N>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') end IT = input('Precisão 0 - R : ') for R = 0:IT:N; %Valores para o Raio x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((1*R)/(3*E0))]; %no ecran

Electrostática Gráficos: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Gráficos:

Electrostática Bibliografia Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Bibliografia Craizer, Marcos e Tavares, Geovan (2002). Cálculo Integral a Várias Variáveis. Brasil: Edições Loyola. Mendiratta, Sushil Kumar (1995).Introdução ao Electromagnetismo 2ª Edição. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian. Brito, Lucília; Fiolhais, Manuel e Providência, Constança (1999). Campo Electromagnético. Portugal: McGraw-Hill de Portugal, Lda. Ehrlich, Robert; Tuszynski, Jaroslaw; Roelofs, Lyle e Stoner, Ronald (1995). Electricity and Magnetism Simulations – CUPS. Canada: John Wiley & Sons, Inc.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Electrostática Informações: Botões de Acção - Diapositivo Anterior Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Informações: Botões de Acção - Diapositivo Anterior - Diapositivo Seguinte - Pagina Inicial

Electrostática Exemplo: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Exemplo: Existem vários materiais que podemos friccionar, os quais adquirem a propriedade magnética. Como foi relatado na experiência, o âmbar já é conhecido há vários séculos, mas é possível executar a mesma experiência com canetas de plástico, pedaços de vidro (cuidado com as arestas), mas será possível magnetizar metais da mesma forma, por fricção? Experimentem!!!

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática

Electrostática CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:

Electrostática CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:

Electrostática CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:

Electrostática CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações Electrostática Enquadramento Teórico da Electrostática Problema Seleccionado Conclusão CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR: CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR: