Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br www.marcelobotelho.com

Amostragens e Distribuições Amostrais Capítulo 7 – parte B

Amostragens e Distribuições Amostrais Distribuição Amostral de 𝑝 Outros Métodos de Amostragem

Distribuição Amostral de 𝑝 Processo de Inferência Estatística O valor de 𝒑 é usado para fazer inferências sobre o valor de p Os dados amostrais proporcionam um valor para a proporção 𝒑 Uma simples amostra aleatória de n elementos é selecionada a partir da população População com proporção p = ?

Distribuição Amostral de 𝑝 A distribuição amostral de 𝒑 é a distribuição de probabilidade de todos os valores possíveis da proporção amostral 𝑝 Valor esperado de 𝑝 𝐸 𝑝 =𝑝 Em que p = a proporção da população

Distribuição Amostral de 𝑝 Desvio padrão de 𝑝 População Finita 𝜎 𝑝 = 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝑁−𝑛 𝑁−1 População Infinita 𝜎 𝑝 = 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝜎 𝑝 é referido como o erro padrão da proporção

Forma de Amostragem da Distribuição de 𝑝 A distribuição de amostragem 𝑝 pode ser aproximada por uma distribuição normal, sempre que o tamanho da amostra for grande O tamanho da amostra é considerado grande, sempre que estas condições sejam satisfeitas np ≥ 5 e n(1 – p) ≥ 5

Forma de Amostragem da Distribuição de 𝑝 Para valores de 𝑝 perto de 0,50 e tamanhos amostrais pequenos como 10 permitem uma aproximação da normal Com valores muito pequenos (aproximando-se de 0) ou muito grandes (aproximando-se 1) de 𝑝 , amostras bem maiores são necessárias

Exemplo: Faculdade de Santo André Lembre-se que 27% dos futuros alunos desejam morar no campus Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória simples de 30 candidatos irá fornecer uma estimativa da proporção da população dos inscritos que desejam alojamento no campus que está dentro de mais ou menos 0,05 da proporção atual da população?

Amostragem da Distribuição de 𝑝 Para o nosso exemplo, com n = 30 e p = 0,27, a distribuição normal é uma aproximação aceitável porque np = 30(0,27) = 8,10 ≥ 5 e n(1 – p) = 30(0,73) = 21,90 ≥ 5

Amostragem da Distribuição de 𝑝 Amostral de 𝒑 𝝈 𝒑 = 𝟎,𝟐𝟕(𝟏−𝟎,𝟐𝟕) 𝟑𝟎 =𝟎,𝟎𝟖𝟏 𝑬 𝒑 =𝟎,𝟐𝟕

Amostragem da Distribuição de 𝑝 Passo 1: calcular o valor z para o valor superior do intervalo z = (0,32 – 0,27)/0,081 = 0,62 Passo 2: encontrar a área abaixo da curva a esquerda do ponto superior P(z ≤ 0,62) = 0,7324

Amostragem da Distribuição de 𝑝 0,27 0,32 Área = 0,7324 Distribuição Amostral de 𝒑 𝝈 𝒑 =𝟎,𝟎𝟖𝟏

Amostragem da Distribuição de 𝑝 Passo 3: calcular o valor z para o valor inferior do intervalo z = (0,22 – 0,27)/0,081 = -0,62 Passo 4: encontrar a área abaixo da curva a esquerda do ponto inferior P(z ≤ -0,62) = P(z ≥ 0,62) = 1 - P(z ≤ 0,62) = 1 - 0,7324 = 0,2676

Amostragem da Distribuição de 𝑝 0,22 0,27 Área = 0,2676 Distribuição Amostral de 𝒑 𝝈 𝒑 =𝟎,𝟎𝟖𝟏

Amostragem da Distribuição de 𝑝 Passo 5: calcular a área da curva entre os pontos inferior e superior do intervalo P(-0,62 ≤ z ≤ 0,62) = P(z ≤ 0,62) - P(z ≤ - 0,62) = 0,7324 - 0,2676 = 0,4648 A probabilidade da proporção da amostra de candidatos que pretendem alojamento no campus está dentro de + / - 0,05 da proporção atual da população P(0,22 ≤ 𝑝 ≤ 0,32) = 0,4648

Amostragem da Distribuição de 𝑝 0,32 0,22 0,27 Área = 0,4648 Distribuição Amostral de 𝒑 𝝈 𝒑 =𝟎,𝟎𝟖𝟏

Outros Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Estratificada Amostragem por Conglomerados Amostragem Sistemática Amostragem de Conveniência Amostragem de Julgamento

Amostragem Aleatória Estratificada Os elementos da população são divididos primeiramente em grupos denominados estratos Cada elemento pertence a um e somente um estrato Os melhores resultados são obtidos quando os elementos contidos em cada estrato são o mais similares possível (ex.: grupos homogêneos)

Amostragem Aleatória Estratificada Uma amostra aleatória simples é retirada de cada estrato Há fórmulas disponíveis para se combinar os resultados das amostras de estrato individuais em uma estimativa do parâmetro populacional de interesse Vantagem: Se os estratos forem homogêneos (baixa variância), esse método produzirá resultados tão precisos quanto os da amostragem aleatória simples, mas utilizando um tamanho total de amostra menor Exemplo: A base para formar os estratos pode ser departamento, localização, idade, tipo de indústria, e assim por diante

Amostragem por Conglomerados Os elementos da população são divididos primeiramente em grupos denominados conglomerados (clusters) Cada elemento pertence a um e somente um conglomerado Idealmente, cada conglomerado é uma versão representativa em pequena escala da população (ex.: grupo heterogêneo) Uma amostra aleatória simples dos conglomerados é tomada Todos os elementos contidos em cada conglomerado amostrado formam a amostra

Amostragem por Conglomerados Exemplo: A principal aplicação é amostragem de área, onde os conglomerados são quarteirões de uma cidades ou outras áreas bem definidas Vantagem: A proximidade dos elementos pode gerar economia de custo (isto é, observações de amostra pode ser obtida num curto espaço de tempo) Desvantagem: Este método geralmente exige um maior tamanho da amostra total do que simples ou amostragem aleatória estratificada

Amostragem Sistemática Se um tamanho de amostra de n é desejada a partir de uma população que contém N elementos, podemos amostrar um elemento para cada elementos n/N na população Nós selecionamos aleatoriamente um dos primeiros n/N elementos da lista populacional Em seguida, selecionamos todos os elementos n/Nésimo que se segue na lista da população

Amostragem Sistemática Este método tem as propriedades de uma amostra aleatória simples, especialmente se a lista dos elementos da população é uma ordenação aleatória Vantagem: A amostragem geralmente será mais do que seria se a amostragem aleatória simples fosse utilizada Exemplo: Selecionando cada 100º listado em uma lista telefônica depois do primeiro ser selecionado aleatoriamente

Amostragem de Conveniência É uma técnica de amostragem não probabilística. Elementos são incluídos na amostra sem probabilidades previamente especificadas ou conhecidas de eles serem selecionados A amostra é selecionada principalmente por conveniência Exemplo: Um professor na realização de pesquisa pode usar estudantes voluntários para constituir uma amostra, ou animais capturados

Amostragem de Conveniência Vantagem: A seleção da amostra e coleta de dados são relativamente fáceis Desvantagem: É impossível avaliar a “excelência” da amostra em termos de representatividade da população

Amostragem de Julgamento A pessoa mais bem informada sobre o tema de estudo escolhe os elementos julga serem os mais representativos da população É uma técnica de amostragem não probabilística Exemplo: Um repórter pode escolher três ou quatro senadores, julgando-os como reflexo da opinião geral do Senado

Amostragem de Julgamento Vantagem: É uma maneira relativamente fácil de selecionar uma amostra Desvantagem: A qualidade dos resultados da amostra depende do julgamento da pessoa que a seleciona

Exercícios Capítulo 7 Exercícios: 4, 8, 10, 15, 16, 26, 28, 29, 32, 35, 36, 40

Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 7 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br www.marcelobotelho.com