O modelo de Lotka-Volterra Aula 3 O modelo de Lotka-Volterra

The Prey-Predator Model In the equation: Only the logistic is controlling growth. In reality the interaction between the Prey and the Predator generates an oscillatory system. The interaction between Prey and Predator generates oscillatory evolutions.

The Lotka-Volterra Model Where Py is the concentration of the Prey, Kny is the rate of reproduction of the Prey and kmy is the rate of natural mortality of the Prey and G is the grazing rate. Pr is the concentration of the Predator; kmr is the rate of natural mortality of the Predator. E is the losing rate (the amount of the Prey destroyed by the predator, but not used to grow). See worksheet Prey-Predator.xlsx for calculation gz is the grazing rate, representing the amount of food per unit of mass needed by the predator. k is the semi-saturation constant.

Lotka Volterra model limitations It does not conserve the total mass. Nature needs at least 3 state variables (pne should be a kind of detritus): Can kp be constant? Is it reasonable that the prey consumes Detritus? If not one needs more state variables...

Considering the diffusive transport one gets the general evolution equations

Resolução Numérica Nesta discretização admitimos que a produção e o consumo durante um intervalo de tempo são função das variáveis no início do intervalo de tempo: Modelo explícito

Modelo parcialmente implícito Nesta discretização o termo de fonte é explícito e o termo de poço é implícito. O termo de pastoreio (grazing) é explícito para ter o mesmo valor em ambas as equações.

Considerações Finais O modelo de Lotka-Volterra tem alguma semelhança com a realidade porque consegues simular a solução cíclica encontrada na natureza mas não conserva a massa. As Presas são geradas do nada e os predadores quando morrem transformam-se em nada. Uma terceira variável poderia resolver o problema da conservação da massa, mas seria insuficiente para descrever a natureza porque as presas teriam que consumir os seus próprios resíduos e os resíduos do predador. Muitas mais variáveis são necessárias para construir um modelo ecológico. Um modelo a duas equações é usado para simular o sistema OD-DBO porque a atmosfera funciona como a terceira variável e uma das variáveis (OD) é mineral e a outra é descarregada no sistema por uma fonte externa (é como se fosse produzida a partir de nada). Num modelo ecológico realista as taxas são função das condições ambientais. Não podem ser constantes nem no tempo, nem no espaço. Esta é na realidade a grande fonte de complexidade de um modelo ecológico. Modelos ecológicos requerem algoritmos com demasiada complexidade para serem resolvidos em folhas de cálculo. Eles requerem programação.

Um modelo mais realista Poderia ser construído utilizando 4 equações

Predator (r) G mr e Prey (y) my Detritus (d) μ Nutrients (n) ϕ State Variables Processes Parameters