Aula 15 – MAT. IV Análise combinatória P. F. C Aula 15 – MAT. IV Análise combinatória P.F.C. II Agrupamentos ordenados e não-ordenados

Agrupamentos O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente. Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados. Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados.

Exemplos A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas? Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas. {A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E} {A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E} Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado.

Exemplos A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)? (A, B, C) (A, C, B) (B, A, C) (B, C, A) (C, A, B) (C, B, A) (A, B, D) (A, D, B) (B, A, D) (B, D, A) (D, A, B) (D, B, A) (A, B, E) (A, E, B) (B, A, E) (B, E, A) (E, A, B) (E, B, A) (A, C, D) (A, D, C) (C, A, D) (C, D, A) (D, A, C) (D, C, A) (A, C, E) (A, E, C) (C, A, E) (C, E, A) (E, A, C) (E, C, A) (A, D, E) (A, E, D) (D, A, E) (D, E, A) (E, A, D) (E, D, A) (B, C, D) (B, D, C) (C, B, D) (C, D, B) (D, B, C) (D, C, B) (B, C, E) (B, E, C) (C, B, E) (C, E, B) (E, B, C) (E, C, B) (B, D, E) (B, E, D) (D, B, E) (D, E, B) (E, B, D) (E, D, B) (C, D, E) (C, E, D) (D, C, E) (D, E, C) (E, C, D) (E, D, C)

Exemplos Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado. a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa. NO b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso. O c) Colocar 5 pessoas em fila. O d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas. NO e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas. O

Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. Ord. b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. Ord. c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento. N-Ord.

Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira. Ord. e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis. N-Ord. f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados. N-Ord.

Permutação simples

Permutação simples Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila? Veja as possibilidades ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CABD CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA No total são 24 maneiras diferentes. ⇒ P4 = 24 Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos.

Permutação simples Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn.

Cálculo no total de permutação simples A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja A → n elementos Etapas: E1 E2 E3 ... En Opções: n n – 1 n – 2 ... 1 Pn = n(n – 1)(n – 2). ... . 1

Exemplos O número de permutações simples de 6 elementos é P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720 O número de permutações simples de 5 elementos é P5 = 5.4.3.2.1 = 120 O número de permutações simples de 4 elementos é P4 = 4.3.2.1 = 24 P3 = 3.2.1 = 6

Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. Qual é o total de anagramas? Quantos começam por consoante e terminam por vogal? Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem?

Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a) Qual é o total de anagramas? P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 anagramas

Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes. Cons. Vogal 4 opç. 4 opç. P6 4 . 4 . P6 = 4 . 4 . 6.5.4.3.2.1 = 11 520

Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? U N I V E RSO P6 P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? P3 U N I V E RSO P6 P3 . P6 = 6 . 6.5.4.3.2.1 = 4320

Permutações com elementos repetidos

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMO? P3 = 3! = 6 AMO AOM MAO MOA OAM OMA

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMA? 3! 6 P32 = = = 3 2! 2 AMA AAM MAA

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMADA? 5! 120 P53 = = = 20 3! 6 AAADM AAAMD AADAM AAAMD AADMA AAMDA ADAAM AMAAD ADAMA AMADA ADMAA AMDAA DAAAM MAAAD DAAMA MAADA DAMAA MADAA DMAAA MDAAA

Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra ARARA? 5! 120 P52,3 = = = 10 2!3! 2.6 AAARR AARAR AARRA ARAAR ARARA ARRAA RAAAR RAARA RARAA RRAAA

Permutações com repetição De maneira geral, o total de permutações de n elementos, se um deles aparece a vezes, outro b vezes, outro c vezes, ... é n! Pna, b, c,... = a!b!c!...

Exemplos (CANAL DO METRALHA) Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. Qual é o total de anagramas? Quantos começam por vogal?

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. Qual é o total de anagramas? 8! 8.7.6.5.4.3! P83, 2, 1, 1, 1 = = = 3 360 3!.2! 2.3!

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E E 7! 7.6.5.4.3! P73, 2, 1, 1 = = = 420 3!.2! 2.3!

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por A A 7! 7.6.5.4.3.2 P72, 2, 1, 1 = = = 1 260 2!.2! 4

Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E = 420 Começando por A = 1 260 Total = 1 680

Exemplos A figura mostra uma superfície azulejada. Uma formiga sai do ponto A e quer chegar ao ponto B, onde há um grão de açúcar. Ela só anda sobre os sulcos entre os azulejos, mas pretende percorrer o menor caminho possível. Quantos trajetos diferente a formiga pode utilizar? B DCDCDCDCDCDD 12! P127, 5 = 7!.5! P127, 5 = 792 A