ÁLGEBRA LINEAR INDEPENDÊNCIA E DEPENDÊNCIA LINEAR (LI e LD)

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1 ÁLGEBRA LINEAR INDEPENDÊNCIA E DEPENDÊNCIA LINEAR (LI e LD)
Prof. Ademilson

2 INDEPENDÊNCIA E DEPENDÊNCIA LINEAR (LI e LD)
Podemos gerar um espaço vetorial através da combinação linear entre vetores. Um espaço n R pode ser gerado por n ou mais vetores. Nossa preocupação é gerar um espaço com o mínimo de vetores e identificar a existência de algum vetor descartável nesse conjunto. Para isso, precisamos compreender o conceito de independência e dependência linear entre vetores.

3 Podemos imaginar o espaço R¹ para vermos que qualquer conjunto de dois ou mais vetores não nulos, tornam-se LD, pois todos serão colineares ou proporcionais (múltiplos escalares). A mesma situação (LD) ocorre no R² com três ou mais vetores (que são coplanares), pois bastariam dois vetores não alinhados para formar todo o plano.

4 Observação: O termo “linearmente dependente” sugere que os vetores de alguma maneira dependem um do outro. O teorema abaixo mostra que isto realmente ocorre: Teorema: Um conjunto S de dois ou mais vetores é: (a) LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S . (b) LI se, e somente se, nenhum vetor de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S .

5 EXEMPLOS: 1) No espaço R² , verificar se os vetores u = (2, 0) e v = (1, -3) são LI, ou seja, linearmente independentes.

6 2) Verificar se é LD o conjunto:
.(-2) 1 Logo, o conjunto P é LD.

7 Observação: A análise em questão sempre passa por um SISTEMA HOMOGÊNEO. Quando esse sistema for “quadrado” , podemos fazer uso do conceito da Regra de Cramer para a análise da situação, isto é, verificando o valor do determinante “D” da matriz formada pelos coeficientes das variáveis (determinante principal). Note que esse determinante é composto pelos vetores do problema dispostos ordenadamente em colunas. Assim, se: então o sistema é do tipo SPD (tem solução única, chamada de “trivial”) e, portanto, os vetores são LI. D = 0 então o sistema é do tipo SPI (tem a solução trivial + infinitas soluções “próprias”) e, portanto, os vetores são LD.

8 Como D = 0 , temos que os vetores do conjunto P são LD.
Desta forma, o exercício anterior poderia ser analisado através do determinante principal do sistema. Então: Como D = 0 , temos que os vetores do conjunto P são LD. AQUI

9 COMPONENTES DE UM VETOR
Seja uma base do espaço vetorial V , então qualquer vetor de V pode ser escrito na forma: Os coeficientes a1, a2, ..., an representarão as coordenadas ou componentes de em relação à base B e denotaremos por: Observação: A n-upla é chamada vetor-coordenada de em relação à base B.

10 Exemplo 1: No R², consideremos as bases A={(1,0), (0,1)} e B={(2,0), (1,3)}. Dado o
vetor v=(8,6). Determinar o vetor coordenada de v em relação à base A e á base B. Solução:

11 Representação Gráfica
A={(1,0), (0,1)} e B={(2,0), (1,3)}. v=(8,6). v=(8,6) 2(1,3) 6(0,1) (1,3) (0,1) 3(2,0) (1,0) (2,0) 8(1,0)

12 Exemplo 2: Determinar o vetor coordenada de v= (5, 4, 2) em relação á
base B= {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)}. Solução:

13 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

14 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Na geometria analítica plana nós aprendemos a associar um ponto P do plano R² a um par de coordenadas (a,b) projetando P sobre um par de eixos coordenados perpendiculares, conforme detalhe (a) da figura.

15 Embora os eixos coordenados perpendiculares sejam os mais comuns, podemos usar quaisquer duas retas não paralelas para definir um sistema de coordenadas no plano. Por exemplo, no detalhe (b) da figura, associa-se um par de coordenadas (a,b) ao ponto P projetando-o paralelamente aos eixos coordenados não paralelos. Analogamente, no espaço tridimensional, podemos definir um sistema de coordenadas utilizando quaisquer três retas não coplanares, como no detalhe (c) da figura.

16 Assim, iremos reformular a noção de sistemas de coordenadas nos espaços bi e tridimensionais utilizando vetores onde antes eram utilizados eixos coordenados para especificar o sistema de coordenadas. Isso pode ser feito substituindo cada eixo coordenado por um vetor de comprimento, direção e sentido de interesse para cada situação. Um ingrediente essencial de qualquer sistema de coordenadas é a escala de medida de comprimento ao longo dos eixos coordenados. Quando um sistema de coordenadas é especificado por um conjunto de vetores de BASE, então os comprimentos desses vetores correspondem às distâncias entre pontos inteiros sucessivos nos eixos coordenados (veja figuras a seguir). Assim, é o sentido dos vetores de base que define o sentido positivo nos eixos coordenados e o comprimento dos vetores de base é que estabelece a escala de medida.

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19 A definição de BASE, a seguir, tornará as ideias apresentadas até aqui mais “precisas” e permitirá ampliarmos o conceito de sistema de coordenadas para espaços vetoriais arbitrários. Definição: Um conjunto será uma base do espaço vetorial V se atender duas condições: i) B é Linearmente Independente (LI); ii) B gera o Espaço Vetorial V . Em outras palavras, BASE é o conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial V .

20 Os conjuntos de vetores é uma base de ?
Exemplo: Os conjuntos de vetores é uma base de ? Temos que verificar se é LI, e ( i ) ( ii ) Solução: ( i ) Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos Logo, é LI

21 (ii) Portanto, Logo, é uma base do espaço

22 ii) Escrevendo como combinação linear ,
temos; ( i ) Logo, o conjunto B é LI. Logo, por (i) e (ii), o conjunto B é uma base do R³.

23 Base Ortogonal Base Ortonormal
Dois vetores são ortogonais se , ou seja Ex.: Mostre que são ortogonais. Logo, os vetores são ortogonais. Base Ortonormal Uma base é ortonormal se verificar as seguintes condições : i) é ortogonal; ii) todo vetor da base é um vetor unitário (ou seja, u.u = 1 para todo vetor da base).

24 Base Ortonormal Exemplo.: Mostre que é uma base ortonormal para R³, sendo Solução: Logo, são vetores ortogonais.

25 Logo, são vetores unitários.
Como foi verificado as duas condições, logo os vetores são ortonormais,

26 Observações: Através dos conceitos dados, concluímos que a base canônica {(1, 0);(0, 1)} é uma base ORTONORMAL do R² . As bases conhecidas como canônicas são as mais comuns por serem ortonormais. São algumas delas: · Base canônica do espaço vetorial R¹ : {(1)} · Base canônica do espaço vetorial R ²: {(1, 0);(0, 1)} · Base canônica do espaço vetorial R³ : {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} · Base canônica do espaço vetorial 3 P (polinômios de grau menor ou igual a 3): {1,x,x² ,x³}. · Base canônica do espaço vetorial (2,2) M :

27 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
Teorema: A dimensão n de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores linearmente independentes em V e também o número mínimo de vetores necessários para gerar V . EXEMPLOS: a) dim R² = 2, pois toda base do R² tem 2 vetores. b) dimRn = n . c) dim M(3,4) = 12. d) dim M(m,n) = m x n. e) dim Pn = n + 1. f) dim = 0

28 MUDANÇA DE BASE Muitos problemas aplicados podem ser simplificados mudando-se de um sistema de coordenadas para outro. Mudar sistemas de coordenadas em um espaço vetorial é, essencialmente, a mesma coisa que mudar de base. Por exemplo, num problema que um corpo se movimenta no plano xy (R²), cuja trajetória é uma elipse de equação x² + xy + y² – 3 = 0 (veja figura A), a descrição do movimento torna-se muito mais simples se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y, utilizarmos um referencial que se apoia nos eixos principais da elipse. Neste novo referencial (veja figura B), a equação da trajetória elíptica será mais simples e prática: 3u² + 2v² = 6.

29 Mudança de Base. Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base é substituir o sistema de coordenadas por outro, isto é, substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro. Resumo da teoria através de um exemplo genérico do R².

30 .(-2) .(-2)