RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE Antonio Carlos Brolezzi Curso de verão 2014 Aula 1     www.ime.usp.br/~brolezzi brolezzi@ime.usp.br

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE Por meio da proposição e resolução de problemas de Matemática de diversos níveis, desenvolver o potencial criativo dos participantes, procurando mostrar que a criatividade é essencial na arte de resolver problemas.  

Este curso não é sobre problemas em si, mas sobre a forma como a gente pensa para resolver um problema, usando a criatividade. Precisamos estar preparados para o novo, para aplicar os conhecimentos que adquirimos em novas situações. Essa é a essência da habilidade de resolução de problemas: que ela nos permite desenvolver capacidades de enfrentar novos desafios, por meio da criatividade.    

  O objetivo desse curso é evitar a situação de “deu branco” e não deixar entrar o bloqueio diante de um desafio, lembrando que há diversos caminhos para se chegar a uma mesma solução.  

Ligue A a B, sem passar duas vezes pelo mesmo lugar.      

De uma maneira geral, esse curso irá defender a ideia de que a resolução de problemas pode ser um meio de desenvolver a criatividade dos alunos e trabalhar com a matemática de forma mais divertida e estimulante. Para isso, irá trazer de volta alguns desafios e enigmas clássicos.

Entendemos que o desenvolvimento da criatividade é tarefa também do professor de matemática. Criatividade tem tudo a ver com a matemática!

A definição que adotamos para o termo criatividade é uma das mais conhecidas. O autor dessa definição é o psicólogo americano Ellis Paul Torrance  (1915-2003).

Criatividade é um processo que torna alguém sensível aos problemas ou lacunas nos conhecimentos e o leva a identificar dificuldades, procurar soluções, formular hipóteses, testá-las e retestá-las, modificando-as se necessário e a comunicar os resultados.

Essa definição mostra como a criatividade está ligada à sensibilidade. Creio que as distrações provocadas pelos problemas matemáticos são eventualmente inibidas pela prática escolar.

Matemática é coisa séria, e você não tem tempo para brincar Matemática é coisa séria, e você não tem tempo para brincar. As provas são longas e cansativas (iremos falar sobre provas de matemática nesse curso). O conteúdo e extenso e cheio de detalhes – todos importantes e fundamentais! Cuidado!

Mas sem distração, não há criatividade Mas sem distração, não há criatividade. Tensão e desespero fazem as pessoas encontrarem soluções tensas e desesperadas – às vezes dá certo, mas o custo pode ser elevadíssimo. Mas a História da Matemática veio em nossa ajuda.

A História da Matemática mostra que a matemática cresceu pelo desafio, pela vontade de entender uma coisa curiosa. Não é a toa que existe a expressão mágica - diversões matemáticas!

A História da Matemática mostra que as diversões matemáticas podem ajudar a tornar as pessoas sensíveis e observadoras – ou seja, podem desenvolver a criatividade. Ninguém cria nada sem um pouco de diversão.

Diversão: ato ou efeito de se divertir; desvio do espírito para coisas diferentes das que o preocupam; ato de voltar para uma e outra parte. Operação militar ou manobra que tem por fim desviar a atenção do inimigo do ponto que se pretende atacar.

Diversão Sinônimos Distração, desvio, divertimento, entretenimento, passatempo, recreio, distração, diversão, brincadeira, idílio, desenfado, espairecimento, divagação, alegria, contentamento.

Diversões matemáticas são problemas matemáticos, desafios, enigmas, adivinhas, charadas, quebra-cabeças etc, que tradicionalmente tem sido utilizadas para afinar o espírito – ou simplesmente para sentir alegria.

Diversões matemáticas sempre existiram – desde que o homem começou a se interessar pela matemática.

Uma diversão matemática surge no Papiro Rhind, que data do ano 1600 a  Uma diversão matemática surge no Papiro Rhind, que data do ano 1600 a.C.. Que pode ser reescrito da seguinte forma:     Um homem tinha sete casas,     Cada casa tinha sete gatos,      Para cada gato havia sete ratos,      Para cada rato havia sete espigas de trigo,      E cada espiga tinha sete medidas de grão.     Quantas coisas ele possuía,     Casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão?    

 Esse problema egípcio supõe uma conta de adição sobre os termos de uma sequencia numérica – uma soma de progressão geométrica.   Casas gatos ratos espigas medidas de grão Total 7 49 343 2401 16807 19607  

Entretanto, esse probleminha acabou entrando para a história  Entretanto, esse probleminha acabou entrando para a história. Isso por uma simples questão. Leia novamente o enunciado e perceba porque uma das respostas possíveis é 7. O enunciado diz que o homem possuía 7 casas. As outras coisas não estão expressamente listadas como sendo dele. Veja aqui não se trata de achar a solução correta, mas de explorar o enunciado. Por isso, esses problemas ficaram famosos.    

Quase todo problema bom tem várias soluções. Existe a solução que explora mais o enunciado do problema, em sua máxima generalidade. Precisamos estar abertos a diversas soluções, e convidar os alunos a pensar em outras possibilidades. Sei que nós, professores de matemática, podemos ficar furiosos com essa espécie de relativização do conhecimento matemático. O importante é percebe que esse tipo de diversão matemática ajuda a desenvolver o difícil hábito que é a leitura atenta dos enunciados dos problemas. Esse problema egípcio teve várias versões, incluindo uma parlenda inglesa do século XVIII.    

A Caminho de St. Ives As I was going to St. Ives,  I met a man with seven wives;  Every wife had seven sacks,  Every sack had seven cats,  Every cat had seven kits.  Kits, cats, sacks, and wives,  How many were going to St. Ives? A caminho de St. Ives, Encontrei um homem com sete esposas; Cada esposa tinha sete sacos, Cada saco tinha sete gatos, Cada gato tinha sete gatinhos, Gatinhos, gatos, sacos e esposas, Quantos iam a caminho de St. Ives?   Como você já percebeu, um pouco também baseado no problema egípcio, há aqui uma ou mais questões de interpretação, que fazem com que essa poesia tenha várias soluções possíveis. Uma solução bastante comum é da soma abaixo: Esposas sacos gatos gatinhos Total 7 49 343 2401 2800  

Opa! Mas esquecemos do homem que foi encontrado! Ou seja, a resposta seria 2801. Mas não, esquecemos também que o narrador ia para S. Ives, ou seja, a resposta seria 2802. Mas é claro que há uma resposta – ou mais de uma – que estão adequadas ao enunciado, o que faz com que essa diversão seja uma das mais conhecidas no mundo. Alias, para que vejamos essa solução, podemos olhar como a cultura popular tem feito uso de diversões matemáticas. No caso, o cinema comercial.    

Um sequencia de filme de ação muito popular na década de 90 foi Duro de Matar, com Bruce Willis em sua melhor forma. Você lembra do filme de 1995 Duro de Matar III? Pois bem, nesse filme há vários probleminhas interessantes de matemática que são utilizados pelo vilão para chantagear e ganhar tempo do policial (Bruce Willis) que o está perseguindo, junto com o colaborador representado pelo ator Samuel L. Jackson.    

Em uma determinada situação, o vilão diz que eles devem discar 555 e mais 4 dígitos que são a resposta numérica do problema de S. Ives. Caso errem os dígitos, uma bomba irá explodir em 30 segundos.    

Uma resposta possível seria 0 (zero). Do ponto de vista do enunciado do problema, mesmo essa solução popular apresentada no filme pode ter outras versões.   Uma resposta possível seria 0 (zero). Pois embora o narrador afirme que estava indo a S. Ives, a pergunta da rima não se refere a ele, mas às coisas encontradas: “Gatinhos, gatos, sacos e esposas, Quantos iam a caminho de S. Ives?” Aliás, essa interpretação sobre os itens expressamente elencados na pergunta abre também caminho para a resposta 2800, aquela inicial que exclui o narrador e o homem encontrado.    

O Brasil tem uma tradição muito importante e reconhecida internacionalmente em relação ao ensino de matemática. Tivemos e temos professores notáveis. Um dos mais conhecidos foi sem dúvida Júlio César de Melo e Sousa (1895 —1974)

Mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan, esse professor de matemática escreveu vários livros, dos quais o mais famoso é O Homem que Calculava. Em seus livros e palestras, ele foi um dos maiores divulgadores das diversões matemáticas no Brasil e no mundo.

As obras de Malba Tahan mostram uma matemática divertida e curiosa.

As obras de Malba Tahan mostram uma matemática divertida e curiosa. Essa tradição brasileira perpassa os livros didáticos desde a década de 50.

Isso durou até os anos 70. Vejamos um problema proposto por Malba Tahan.

Um coronel encontrou dez soldados vadiando e deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda, que deveria ser cumprida imediatamente ou iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com quatro soldados em cada!" Para surpresa do coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a ordem. Como eles fizeram?    

Um coronel encontrou dez soldados vadiando e deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda, que deveria ser cumprida imediatamente ou iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com quatro soldados em cada!" Para surpresa do coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a ordem. Como eles fizeram?    

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Isso parece algo trivial, mas não é. Eis aí 20 soldados felizes, em cinco fileiras com quatro soldados cada uma. Trata-se de outro problema, mas é um problema parecido com o anterior, embora bem mais fácil. Isso parece algo trivial, mas não é. É uma importante estratégia de resolução de problemas: encontrar um problema parecido com o problema dado, mas mais fácil de fazer. Modificar o problema. A gente precisa perder o medo de modificar o problema, para desenvolver outras estratégias de resolução de problemas.    

Mas, seja como for, ai temos uma solução para o problema dos 20 soldados. O que ela nos ensina? Parece fundamental ter percebido que, no caso do problema considerado, com apenas 10 soldados, é necessário que cada soldado esteja presente em duas fileiras simultaneamente. Acho que uma boa estratégia é tentar resolver o problema concretamente, em forma de teatro.    

A solução que aparece com mais frequencia tem a ver com o fato de que, se um soldado tem que ocupar duas fileiras, então ele deve estar em um cruzamento de duas fileiras. Assim, 5 soldados ficam no centro, enquanto outros 5 ficam do lado de fora, intercalando, formando uma estrela de 5 pontas chamada de pentagrama.

A própria estrela de 5 pontas pode ser observada numa famosa dobradura instantânea, que se faz com uma tirinha de papel. Olhando-a contra a luz, se enxerga a solução do problema dos 10 soldados.