ME623A Planejamento e Pesquisa

4. Experimentos em Blocos Blocos Completos Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Blocos Balanceados Incompletos Delineamento Cruzados

Vitral em homenagem a Fisher Quadrados Latinos Tipo de experimento muito eficiente Permite controlar (ou eliminar) o efeito de dois fatores de perturbação/ruído, isto é, permite blocagem em duas direções Lembre-se que nos experimentos com blocos controlamos um único fator ruído O nome quadrado latino vem do fato que o experimento está disposto na forma de um quadrado e cada tratamento é representado por uma letra do alfabeto latino (A, B, C, D, etc) Vitral em homenagem a Fisher

Quadrados Latinos Universidade de Cambridge, Caius College Vitral em homenagem a Fisher No topo, o diagrama de Venn E na parte de baixo, um quadrado latino 7x7

Quadrados Latinos Nesse tipo de experimento, as linhas e as colunas representam restrições na aleatorização O número de tratamentos é mesmo que o número de linhas e de colunas De forma geral, um quadrado latinho a x a é um quadrado contendo a linhas e a colunas, sendo que cada uma das a células contém uma das a letras correspondentes aos tratamentos Cada letra ocorre apenas uma vez em cada linha e em cada coluna

Exemplos de Quadrados Latinos A B C D A D B E C A D C E B F B C D A D A C B E B A E C F D C D A B C B E D A C E D F A B D A B C B E A C D D C F B E A E C D A B F B A D C E E F B A D C Para um dado número de tratamentos a, existem vários quadrados latinos possíveis

Número Total de Possíveis Quadrados Latinos Um quadrado padrão é um quadrado com a 1ª linha e 1ª coluna com as letras em ordem alfabética

Conhecem Sudoku? Baseado num quadrado latino 9x9

Exemplo – Propulsores de Foguetes Um pesquisador está interessado em estudar os efeitos de diferentes formulações de propulsores de foguetes usados em sistema de fuga da tripulação (assento ejetor, por ex.) em termos velocidade de queima (isto é, o quão rápido o sistema ejeta os tripulantes) Cada formulação é misturada a partir de um lote de matéria-prima, suficiente para testar 5 formulações Além disso, as formulações são preparadas por operadores diferentes Duas fontes de perturbação: operadores e lotes de matéria-prima

Exemplo - Propulsores de Foguetes Temos 5 tratamentos representados pelas letras A, B, C, D e E Note que cada letra aparece exatamente uma vez em cada linha e coluna Lote de Matéria-Prima Operador 1 2 3 4 5 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22 E=22 A=30 C=29 D=31

Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações são descritas através do modelo: Modelo completamente aditivo: não interação entre linhas, colunas e tratamentos

Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SST) em que,

Análise de Variância A Análise de Variância decompõe a SST das N=a2 observações em com respectivos graus de liberdade Sob a suposição de normalidade dos erros e pelo Teorema de Cochran, são v.a. qui-quadrado independentes

Teste de Hipóteses Assim como anteriormente, queremos testar se: A estatística do teste é: Podemos também testar se os efeitos das linhas e das colunas são zero, mas como estas são restrições na aleatorização, os testes podem não ser apropriados.

Tabela ANOVA Quadrados Latinos

Exemplo - Propulsores de Foguetes Lote de Matéria-Prima Operador 1 2 3 4 5 yi.. A=24 B=20 C=19 D=24 E=24 111 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36 134 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21 130 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22 128 E=22 A=30 C=29 D=31 132 y..k 107 143 121 y... = 635

Exemplo - Propulsores de Foguetes Aparentemente, a velocidade de queima difere para diferentes formulações Vamos olhar também os gráficos de velocidade de queima por lote de máteria- prima e operador Figura: Velocidade de Queima por Formulação

Exemplo - Propulsores de Foguetes Figura: Velocidade de Queima por Lote Figura: Velocidade de Queima por Operador

Análise Estatística Exemplo dos Propulsores de Foguetes

Calculando as médias de cada tratamento Exemplo dos Propulsores de Foguetes Letra Latina Total Tratamento A y.1. = 143 B y.2. = 101 C y.3. = 112 D y.4. = 149 E y.5. = 130 Calculando as médias de cada tratamento

Tabela ANOVA Exemplo dos Propulsores de Foguetes Conclusão: Existe uma diferença significativa na médias da velocidade de queima causadas pelas diferentes formulações E existe diferença entre os lotes de matéria-prima? E entre operadores?

Análise Estatística Exemplo dos Propulsores de Foguetes No R > dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE) > fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) + factor(Operator), data=dados) > anova(fit) Analysis of Variance Table Response: Rate Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Formulation) 4 330 82.500 7.7344 0.002537 ** factor(Batch) 4 68 17.000 1.5938 0.239059 factor(Operator) 4 150 37.500 3.5156 0.040373 * Residuals 12 128 10.667 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1

Análise dos Resíduos Exemplo dos Propulsores de Foguetes Como em qualquer experimento, devemos investigar a adequacidade do modelo através da inspeção dos resíduos No caso dos Quadrados Latinos, os resíduos são: Os gráficos dos resíduos são apresentados a seguir

Análise dos Resíduos Exemplo dos Propulsores de Foguetes

Análise dos Resíduos Exemplo dos Propulsores de Foguetes

Análise dos Resíduos Exemplo dos Propulsores de Foguetes Parece haver um problema com as suposições do modelo Resíduos não parecem seguir uma distribuição normal Variância aumenta com a magnitude dos dados Exercício: Desconsiderar os diferentes lotes de matéria-prima e ajustar o modelo novamente, usando apenas operador como bloco

Replicação dos Quadrados Latinos Quadrados Latinos pequenos: poucos graus de liberdade para o erro Nesse caso, é aconselhável replicar os quadrados latinos A replicação pode ser feita de várias formas e a Análise de Variância depende de como isso é feito

Replicação dos Quadrados Latinos No exemplo dos foguetes, suponha que iremos replicar 3 vezes. As formas possíveis são: Usar os mesmos lotes e operadores em cada replicação Usar os mesmos operadores, mas lotes diferentes em cada replicação (ou mesmos lotes, mas operadores diferentes) Usar lotes e operadores diferentes

Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 1 operadores 1 2 3 4 5 lotes A B C D E Replicação 1 operadores 1 2 3 4 5 lotse E A B C D Replicação 2 operadores 1 2 3 4 5 lotes D E A B C Replicação 3

Tabela ANOVA Quadrados Latinos Replicados – Caso 1

Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 2 operadores 1 2 3 4 5 lotes A B C D E Replicação 1 operadores 1 2 3 4 5 lotes 6 E A B C D 7 8 9 10 Replicação 2 operadores 1 2 3 4 5 lotes 11 D E A B C 12 13 14 15 Replicação 3

Tabela ANOVA Quadrados Latinos Replicados – Caso 2

Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 2 operadores 1 2 3 4 5 lotes A B C D E Replicação 1 operadores 6 7 8 9 10 lotes E A B C D Replicação 2 operadores 11 12 13 14 15 lotes D E A B C Replicação 3

Tabela ANOVA Quadrados Latinos Replicados – Caso 3

ME623A – Aula 10 – 09/09/2013