Modelo de Mundo Pequeno Alunos: Arthur Freitas Ramos (afr) Hugo Neiva de Melo (hnm2)

Roteiro Introdução Experiência de Milgram Modelo Exponencial Modelo de Watts-Strogatz Redes de Mundo Pequeno Consequências Conclusão

O quão pequeno é o mundo? 1990 – John Guare e a peça “Six Degrees of Separation”. Seria apenas um mito, um elemento de ficção? Quantos contatos separam uma pessoa de outra, em qualquer lugar do mundo?

O quão pequeno é o mundo? Karinthy acreditava que o mundo estava “encolhendo”. Obra “Everything is Different” – 5 intermediários.

O quão pequeno é o mundo? 1960 – The Small World Experiment por Stanley Milgram e Jeffrey Travers. Queria descobrir o quão conectadas eram duas pessoas nos EUA.

Experimento de Mundo Pequeno 296 pessoas de Nebraska e Boston. Destinatário em Massachusetts. Regras para envio eram:

Experimento de Mundo Pequeno Adicione seu nome a lista, para que a próxima pessoa que receber esta carta saiba de onde ela veio. Retire um cartão postal do fim desta carta, preencha e retorne-a para a Universidade de Harvard. Este cartão é importante para que possamos conferir o progresso desta carta, a medida que alcança o destinatário. Se você conhecer o destinatário, envie esta carta diretamente para ele(a). Faça-o apenas se já houver se encontrado com o destinatário e o(a) conhecer pelo primeiro nome.

Experimento de Mundo Pequeno 4) Caso não conheça pessoalmente o destinatário, não tente contatá-lo. Mande esta carta para um conhecido que você acha que provavelmente conhece pessoalmente o destinatário, desde que você conheça pessoalmente a pessoa para quem você irá enviar esta carta.

Experimento de Mundo Pequeno Número de correntes Número de intermediários

Experimento de Mundo Pequeno Número de correntes incompletas Número de remoções onde a carta não foi reenviada

Modelo de Crescimento Exponencial Você : 1 Seus amigos : 100 Os amigos dos seus amigos : 10000

Modelo de Crescimento Exponencial Em apenas 5 passos, 1005 pessoas seriam alcançadas, o que é maior que a população mundial. Esse modelo despreza a probabilidade de cada pessoa ter amigos em comum.

Modelo de Crescimento Exponencial Porém, um modelo que representa melhor a realidade é o seguinte:

Modelo de Crescimento Exponencial O modelo exponencial toma como base que os amigos de uma pessoa não se conhecem. Não serve para representar os relacionamentos sociais no mundo real. Mundo real – muitos triângulos. Como é possível então, que as redes sociais possuem muitos triângulos em escopo local e mesmo assim constituírem um mundo pequeno?

Modelo de Watts-Strogatz Essa pergunta continuou sem resposta por mais de 30 anos após o experimento de Milgram. Falta de existência de técnicas e capacidade computacional para a criação de um modelo que simulasse as redes sociais. A solução surge em 1998, com o modelo de Watts-Strogatz.

Modelo de Watts-Strogatz Criado por Duncan J. Watts e Steven Strogatz, em 1998. Introduz o conceito de coeficiente de clusterização. Consegue simular tanto redes aleatórias como as redes sociais do mundo real.

Coeficiente de clusterização

Construção do grafo O modelo de Watts-Strogatz usa os seguintes parâmetros: N -> número de nós; K -> grau de cada nó; (0 <= P <= 1) -> coeficiente que modela o grafo, quanto maior P, maior a desordem; C -> coeficiente de clusterização; L -> distância média entre dois nós da rede.

Coeficiente de clusterização

Estudo do grafo L µ (n / k) L µ (ln n /ln k) C » 3 / 4 C » (k / n) ® 0 p = 0 (ordenado) p = 1 (aleatório) L µ (n / k) L µ (ln n /ln k) C » 3 / 4 C » (k / n) ® 0 O que acontece com valores de P intermediários?

Estudo do grafo

Estudo do grafo P pequeno - diminui consideravelmente L, mantém C praticamente constante. P pequeno caracteriza redes de mundo pequeno. Condições necessárias: alguma fonte de ordenação; um pouco de aleatoriedade.

Por que o mundo real é pequeno? Ordenação -> redes de amigos locais altamente clusterizadas. Aleatoriedade -> algum contato que foge da rede local.

Mundos pequenos Grade de transmissão de energia nos EUA:

Número de Bacon Número de Bacon:

Número de Bacon http://oracleofbacon.org/ Número de Bacon Número de pessoas 1 2512 2 263345 3 846332 4 207260 5 15601 6 1444 7 176 8 29

Facebook Experiência com 5,8 milhões de usuários. Distância média: 5,73. Distância máxima: 12.

Twitter Estudo da relação de um usuário seguir outro. 5,2 bilhões de relações. Distância média: 4,67.

Número de Erdõs Distância “colaborativa” entre o matemático Paul Erdõs e um outro matemático.

Número de Erdõs Número de Erdõs Número de pessoas 1 504 2 6593 3 33605 1 504 2 6593 3 33605 4 83642 5 87760 6 40014 7 11591 8 3146 9 819 10 244 11 68 12 23 13

Rede neural do C. elegans Conexões entre neurônios formam uma rede de mundo pequeno.

Robustez das redes Hipótese defendida por cientistas como Barabási. São mais robustas em relação às perturbações que podem ocorrer (ex: remoção aleatória de um nó). O predomínio de redes com características de mundo pequeno é uma vantagem evolutiva. Exemplo: rede de aeroportos e viagens.

Memória de curto prazo Os neurônios do córtex pré-frontal são responsáveis pelas memórias recentes. As conexões formam uma rede de mundo pequeno. Podem estar em dois estados diferentes: ativo (quando está engajado em “guardar uma memória”) ou inativo.

Experiência Simulação do comportamento dos neurônios, por Sara Solla, Herman Riecke e Alex Roxin:

Experiência A adição de “atalhos” permite a manutenção do sinal:

Permeabilidade do solo Estudo sobre a porosidade das rochas de um solo permeável. Descobriu-se que os póros dentro de uma rocha formam uma rede de mundo pequeno. A permeabilidade está relacionada à facilidade de difusão de um fluído dentro da rocha.

Permeabilidade do solo A difusão é facilitada devido aos “atalhos” presentes entre os póros (como rachaduras ou espaços entre sedimentos). Apesar disso, a concentração de fluídos nos póros é dada por uma “probabilidade de ocupação”.

Permeabilidade do solo

Conclusão Muitos anos sem avanços teóricos. Dificuldades em simular uma rede de mundo pequeno que reflita a realidade. O modelo de Watts-Strogatz descreveu matematicamente o fenômeno. Diversos tipos de rede têm características de mundo pequeno.

Referências http://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation http://en.wikipedia.org/wiki/Small-world_network http://www.oakland.edu/enp/trivia/ http://cssp.us/pdf/D_Watts_Six_Degrees_CSSP.pdf http://www.wandora.org/wandora/wiki/index.php?title=Clustering_coefficient http://www.cis.upenn.edu/~mkearns/teaching/NetworkedLife/travers_milgram.pdf WATTS, Duncan J.; STROGATZ, Steven H.. Collective dynamics of ‘small-world’ networks. Letters To Nature, New York, p. 440-442. 4 jun. 1998.

Referências http://online.itp.ucsb.edu/online/brain04/solla/pdf/Solla.pdf http://www.newscientist.com/article/dn5012 http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1003/1003.4886v1.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Shale