Monitoria de Lógica para Computação Ciência da Computação 2010.1 Conjuntos Indutivos e Fechos Indutivos Por Dayvid Victor (dvro) Ricardo Salomão (rssj2) [SAL] Vinícius Cantarelli (vhco) [Bolinha]

Motivação O conjunto de todas as palavras da Lógica proposicional é construído sobre o alfabeto Σ = {x, y, z, 0, 1, (, ), ^ , v , →, ¬} Mas nem todas as palavras sobre esse alfabeto representam expressões bem-formadas. Ex.: (x ¬ ν), ¬).

Motivação Como definir o Conjuntos das Expressões Bem-Formadas da lógica proposicional ?

é um conjunto indutivo em relação a X e a F. Conjuntos Indutivos Seja A um conjunto e X um subconjunto de A (X ⊂ A). Considere F um conjunto de funções cada uma com sua aridade. Dizemos que um subconjunto Y de A (Y ⊆ A) é indutivo em relação à base X e a F se: I) Y contém a base X. (X ⊂ Y) II) Y é fechado sobre todas as funções de F. A Y X F = {f(), g(),...} é um conjunto indutivo em relação a X e a F. Y

Fecho Indutivo Como nós chegamos ao menor conjunto indutivo ? Há duas formas de chegarmos ao fecho indutivo: 1) De baixo para cima (bottom-up) 2) De cima para baixo (top-down)

Fecho Indutivo – Bottom-up Sejam f e g funções de F: f(-, -) binária; g(-) unária; f(a,b) f(b,a) f(a,c) f(c,a) f(b,c) f(c,b) g(a) g(b) g(c) a b c

... X+ f(a,b) f(b,a) f(a,c) f(c,a) f(b,c) a b c f(c,b) g(a) g(b) g(c) f(a,f(a,b)) f(a,f(b,a)) f(a,f(a,c)) f(a,f(c,a)) f(a,f(b,c)) f(a,f(c,b)) f(a,g(a)) f(a,g(b)) f(a,g(c)) f(f(a,b),a) f(f(b,a),a) f(f(a,c),a) f(f(c,a),a) f(f(b,c),a) f(f(c,b),a) f(g(a),a) f(g(b),a) f(g(c),a) f(b,f(a,b)) f(b,f(b,a)) f(b,f(a,c)) f(b,f(c,a)) f(b,f(b,c)) f(b,f(c,b)) f(b,g(a)) f(b,g(b)) f(b,g(c)) f(f(a,b),b) f(f(b,a),b) f(f(a,c),b) f(f(c,a),b) f(f(b,c),b) f(f(c,b),b) f(g(a),b) f(g(b),b) f(g(c),b) f(c,f(a,b)) f(c,f(b,a)) f(c,f(a,c)) f(c,f(c,a)) f(c,f(b,c)) f(c,f(c,b)) f(c,g(a)) f(c,g(b)) f(c,g(c)) f(f(a,b),c) f(f(b,a),c) f(f(a,c),c) f(f(c,a),c) f(f(b,c),c) f(f(c,b),c) f(g(a),c) f(g(b),c) f(g(c),c) f(f(a,b),f(a,b)) f(f(a,b),f(b,a)) f(f(a,b),f(a,c)) f(f(a,b),f(c,a)) f(f(a,b),f(b,c)) f(f(a,b),f(c,b)) f(f(a,b),g(a)) f(f(a,b),g(b)) f(f(a,b),g(c)) f(f(b,a),f(a,b)) f(f(a,c),f(a,b)) f(f(c,a),f(a,b)) f(f(b,c),f(a,b)) f(f(c,b),f(a,b)) f(g(a),f(a,b)) f(g(b),f(a,b)) f(g(c),f(a,b)) f(f(b,a),f(b,a)) f(f(b,a),f(a,c)) f(f(b,a),f(c,a)) f(f(b,a),f(b,c)) f(f(b,a),f(c,b)) f(f(b,a),g(a)) f(f(b,a),g(b)) f(f(b,a),g(c)) f(f(a,c),f(b,a)) f(f(c,a),f(b,a)) f(f(b,c),f(b,a)) f(f(c,b),f(b,a)) f(g(a),f(b,a)) f(g(b),f(b,a)) f(g(c),f(b,a)) f(f(a,c),f(a,c)) f(f(a,c),f(c,a)) f(f(a,c),f(b,c)) f(f(a,c),f(c,b)) f(f(a,c),g(a)) f(f(a,c),g(b)) f(f(a,c),g(c)) f(f(c,a),f(a,c)) f(f(b,c),f(a,c)) f(f(c,b),f(a,c)) f(g(a),f(a,c)) f(g(b),f(a,c)) f(g(c),f(a,c)) f(f(c,a),f(c,a)) f(f(c,a),f(b,c)) f(f(c,a),f(c,b)) f(f(c,a),g(a)) f(f(c,a),g(b)) f(f(c,a),g(c)) f(f(b,c),f(c,a)) f(f(c,b),f(c,a)) f(g(a),f(c,a)) f(g(b),f(c,a)) f(g(c),f(c,a)) f(f(b,c),f(b,c)) f(f(b,c),f(c,b)) f(f(b,c),g(a)) f(f(b,c),g(b)) f(f(b,c),g(c)) f(f(c,b),f(b,c)) f(g(a),f(b,c)) f(g(b),f(b,c)) f(g(c),f(b,c)) f(f(c,b),f(c,b)) f(f(c,b),g(a)) f(f(c,b),g(b)) f(f(c,b),g(c)) f(g(a),f(c,b)) f(g(b),f(c,b)) f(g(c),f(c,b)) f(g(a),g(a)) f(g(a),g(b)) f(g(a),g(c)) f(g(b),g(a)) f(g(c),g(a)) f(g(b),g(b)) f(g(b),g(c)) f(g(c),g(b)) f(g(c),g(c)) X+ f(a,b) f(b,a) f(a,c) f(c,a) f(b,c) f(c,b) g(a) g(b) g(c) ... a b c

Fecho Indutivo – Bottom-up Vamos construir o fecho indutivo a partir da base: Onde aridade(f) = k e x1, x2, ..., xk ∊ Xn e ∊ F

Fecho Indutivo – Top-down Considere a família C de conjuntos indutivos em relação a X e F. Perceba que C não é vazia pois contém pelo menos A. Considere X+= ∩ C o conjunto formado pela intersecção de todos os conjuntos de C. Temos que X+ é o menor conjunto indutivo em relação a X e F (fecho indutivo)

Conjunto EBF Base: Os elementos da base também pertencem ao conjunto. {x, y, z, 0, 1} Os elementos da base também pertencem ao conjunto. No caso do conjunto EBF, os elementos da base devem ser expressões bem-formadas.

Funções – F = {f,g,h,i} f: EBF→ EBF g: EBF x EBF → EBF f(w) = (¬w) g: EBF x EBF → EBF g(w1,w2) = (w1 ^ w2) h: EBF x EBF → EBF h(w1,w2) = (w1 v w2) i: EBF x EBF → EBF i(w1,w2) = (w1 → w2)

Conjuntos Livremente Gerados Definição: Sejam A e X conjuntos, X está contido em A, e seja F um conjunto de funções que recebem como parâmetro elementos de A: O fecho indutivo de X+ de X sob F será livremente gerado se e somente se:

Todas as funções de F forem injetoras. Sejam f e g funções de F sobre X+, o conjunto imagem de f e g são disjuntos. Nenhum elemento da base X é resultado de aplicações de f sobre o fecho de X. Todo CLG tem a propriedade de leitura única, ou seja, só existe uma forma de, aplicando funções de F, se “chegar” a elementos do conjunto CLG. f(a,b) != g(a,b) != f(g(a),f(a,b)) !=(...)

Exemplinhuxxx 1. Dê a base e as funções dos conjuntos indutivos propostos abaixo e diga se eles são livremente gerados. Conjunto das cadeias binárias de tamanho par; Conjunto dos números primos; Conjunto das cadeias binárias que têm a quantidade de 1’s maior que a quantidade de 0’s e os 0’s aparecem antes dos 1’s; Conjunto dos números múltiplos de n.

Base B: Funções : f(-) unária; g(-) unária; f(w) = w0; g(w) = w1; 1 2. Considere o conjunto C das cadeias binárias que comecem 1 (ex. 10010). Dê uma definição indutiva para C, e identifique: o conjunto ‘base’ da geração indutiva (i.e., X), e o conjunto de funções geradoras (i.e., F). (Dica: a função de concatenação, ao tomar duas palavras w e v como argumentos de entrada, retorna a palavra wv.) Base B: Funções : f(-) unária; g(-) unária; f(w) = w0; g(w) = w1; 1 F = { f(-) , g(-)} B = { 1 }

(i) Descreva em poucas palavras quais são: o menor e o maior conjunto indutivo de X sob F. X0 = B; Xi+1 = Xi U {f(w1,...,wn)| f є F e w1,...,wn є Xi e n = aridade de f} X+ 1000 1010 11000 1001 1011 1101 1111 100 101 110 111 ... 10 11 1

O maior: Conjunto de todas as cadeias de bits -- (ii) Considerando suas definições de quem é X e quem são as funções de F, podemos dizer que o conjunto C é livremente gerado?