Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ 2º período letivo, 2013
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996. I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998. S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000. G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000. M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001. I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001. E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002. K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002. R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003. F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004. D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008. C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008. L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011. M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012. O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Leituras recomendadas R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988. H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003. A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005. V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006. B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. J. Polkinghorne , Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012. M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Univ. Federal do Rio Grande do Sul) http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/ QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html PhET (University of Colorado) http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena SPINS (Oregon State University) http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html Quantum physics (École Polytechnique) http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sumário Fenômenos quânticos Princípios da mecânica quântica Sistemas quânticos simples: aplicações Emaranhamento Realismo, contextualidade e não-localidade Partículas idênticas Produto escalar, operadores, autovalores e autovetores Simetrias Posição e momentum Partícula em uma dimensão C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Um experimento com a luz feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detetores de luz D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resultado do experimento Os detetores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D2 ou 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detetores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Se a luz é composta por partículas ou D1 D2 ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. O detetor que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. caminho 2 caminho 1 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O experimento de Grangier, Roger & Aspect Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir. ν1 ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O experimento de Grangier, Roger & Aspect w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resultado do experimento de Grangier et al. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sobre o ensino do conceito de fóton Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Outro experimento com a luz D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Preliminares: um feixe bloqueado 1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O outro feixe bloqueado 1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resultado fácil de entender com partículas 1 2 50% 25% = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
De volta ao interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resultado do experimento: 0% 100% D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos 1 25% 2 25% Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Proposição* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2 consequência: probabilidade do detetor Dn disparar apenas o caminho 2 aberto apenas o caminho 1 aberto * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Teste da Proposição Experimentalmente: a Proposição é falsa! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” Repetindo: A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Por onde vai o fóton? 2 1 e 2 1 nem 1 nem 2 ou 1 ou 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Outra possibilidade... Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir as possibilidades 1 e 2. A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Fácil de entender num modelo ondulatório interferência construtiva destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Comprimentos variáveis L1 L2 PD2 PD1 L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resultado experimental: L1 – L2 1 PD1 PD2 (linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2)) Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O experimento de Grangier, Roger & Aspect P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O experimento de Grangier, Roger & Aspect L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Interferência de nêutrons interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Interferência de átomos interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Interferência de elétrons A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
E se o caminho for observado? interferência desaparece ! diferença de “caminhos” (ajustável) P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
interferômetro de Ramsey E se o caminho for observado? o experimento real interferômetro de Ramsey P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
E se o caminho for observado? Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa ∞ caminho não identificado padrão de interferência N Massa P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
impossível determinar E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Quando há interferência? Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (“1 e 2”) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (“ou 1 ou 2”) não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado A equação de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas de dois estados esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas de dois estados fóton refletido fóton transmitido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas de dois estados grandeza física observável: a2 a1 a2 a1 A = ? ou a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: pontos no “eixo A” A a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: vetores ortogonais em um espaço de duas dimensões C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A notação de Dirac vetor ↔ exemplos: identificação C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O que muda? ? O que muda é o seguinte: Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? A a1 a2 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O Princípio da Superposição Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Significado de |ñ A = a1 e A = a2 ? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Alguns detalhes ‘técnicos’ As constantes c1 e c2 podem ser números complexos. O espaço de estados é um espaço vetorial complexo. Os vetores |a1ñ e |a2ñ são uma base do espaço (bidimensional) de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O espaço de estados é grande Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Princípio da Superposição: formulação geral Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A Regra de Born c2 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é (n = 1, 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A Regra de Born | a1 a2 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Probabilidade total Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2. A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Normalização do vetor de estado c2 c1 Norma de |ñ: (tamanho do vetor |ñ) Com essa definição: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Normalização do vetor de estado |ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Normalização do vetor de estado Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: ou seja, C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Vetores normalizados: a Regra de Born medidor de “A” | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Amplitude de probabilidade cn amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 “função de onda”: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
valor médio de A no estado | N medidas de A (N ) N1 a1 , N2 a2 valor médio de A no estado | C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Valor médio probabilidades: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Incerteza c2 c1 c1, c2 0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A = incerteza de A no estado | ou A = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Complementaridade e o Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Complementaridade A B a1 a2 duas grandezas físicas: A e B b1 b2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Grandezas compatíveis e incompatíveis A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O Princípio da Incerteza A bem definido, B incerto ( A = 0, B 0) A e B incertos ( A 0, B 0) B bem definido, A incerto ( B = 0, A 0) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O Princípio da Incerteza A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Exemplo: posição e momentum duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resumo dos princípios já discutidos vetor no espaço de estados estado físico sistema de “eixos” no espaço de estados grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resumo dos princípios já discutidos projeção do vetor de estado no eixo |an probabilidade da medida resultar em A = an probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Até agora: cinemática quântica. E a dinâmica quântica? Como o vetor de estado muda com o tempo? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado antes da medida a2 a1 depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Colapso do vetor de estado resultado A = a2 A = a1 medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Colapso do vetor de estado Se fazemos uma medida, encontrando A = an, e imediatamente a repetimos, temos que encontrar A = an novamente, com 100% de probabilidade. Sem a reprodutibilidade de medidas sucessivas, o próprio conceito de medida fica comprometido. Portanto, após a medida o vetor de estado do sistema tem que ser | an , o único estado em que uma nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. | |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Medidas simultâneas de duas grandezas b2 b1 (A, B) ( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A Equação de Schroedinger
A equação de Schroedinger Evolução temporal do vetor de estado: |(0) |(t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A (solução da) equação de Schroedinger Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E1, E2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A (solução da) equação de Schroedinger ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: A evolução |(0) |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Propriedades da equação de Schroedinger Linearidade: t 0 t = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Propriedades da equação de Schroedinger Conserva a norma do vetor de estado: tamanho não muda Conserva o “ângulo” entre vetores: dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Propriedades da equação de Schroedinger Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação de ângulos “evolução unitária” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Estados estacionários Estado de energia bem definida En: mesma “direção” que |En |(t) e |(t) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são “estacionários”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Conservação da energia C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Equação de Schroedinger: contínua determinista válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descontínuo probabilístico ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Duas dinâmicas? Equação de Schroedinger: interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a1 e A = a2 Colapso do vetor de estado: interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). A = a1 ou A = a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O “problema da medida” | | Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2 a1 Descrição quântica do aparelho de medida: | | aparelho de medida: equação de Schroedinger: o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O “problema da medida” Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Física quântica x física clássica Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement É decisivo reconhecer que, por mais que os fenômenos transcendam o alcance da física clássica, o relato de toda evidência deve ser expresso em termos clássicos. N. Bohr, Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Física quântica x física clássica …a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sistemas de N Estados Você está em todo lugar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
impossível desenhar N eixos perpendiculares Sistemas de N estados ... 3 estados N estados impossível desenhar N eixos perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
N pode ser infinito e os an contínuos: Sistemas de N estados N pode ser infinito: N pode ser infinito e os an contínuos: ou ainda, C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Aplicações a sistemas simples Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O interferômetro de Mach-Zehnder interferência construtiva 0% 100% D1 D2 “ondas” interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O interferômetro de Mach-Zehnder 1 2 50% 25% D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Descrição quântica do interferômetro (caminho 1) (caminho 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Espaço de estados probabilidades: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 Semiespelho 1 2 evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade Semiespelho sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Interferômetro D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Primeiro semiespelho: Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Interferômetro Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é interferência destrutiva interferência construtiva P1 = 100% P2 = 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O que interfere? (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 2 2 1 1 (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 2 1 2 soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Caminho bloqueado 1 2 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Primeiro semiespelho: Caminho bloqueado Estado inicial: Primeiro semiespelho: Bloqueio: fóton bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Caminho bloqueado Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Por que não há interferência? (1-1-1) (1-2-) (1-1-2) 1 1 2 1 2 não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Caminhos alternativos distinguíveis mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Caminhos alternativos distinguíveis 1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Caminhos alternativos distinguíveis Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Apagando a informação sobre o caminho mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Apagando a informação sobre o caminho Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O palito de fósforo quântico fósforo “bom” fóton fósforo “ruim” fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O palito de fósforo quântico palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Teste clássico palito bom queimado palito ruim C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Teste quântico D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
palito ruim D2 nunca dispara transparente palito ruim D2 nunca dispara C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Palito bom palito bom D2 dispara em 25% das vezes, 50% palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Teste quântico D2 fósforo bom intacto D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende fósforo bom queimado Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
densidade do material atravessado Defasagem As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos. L1 – L2 (λ/50) distância percorrida densidade do material atravessado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
características do caminho percorrido “fase” Defasagem características do caminho percorrido “fase” 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Defasagem D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Primeiro semiespelho: Defasagem Estado inicial: Primeiro semiespelho: Defasadores: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Defasagem Segundo semiespelho: ou seja, C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Após o segundo semiespelho: Defasagem Após o segundo semiespelho: Probabilidades: 1 – 2 1 P1 1 – 2 1 P2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
após uma distância “extra” x: Defasagem L1 – L2 (λ/50) após uma distância “extra” x: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? O problema de Deutsch Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? 1ª lado 2ª lado moeda honesta 1ª lado 2ª lado moeda viciada C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Resposta “clássica”: olhando os dois lados O problema de Deutsch Resposta “clássica”: olhando os dois lados 1ª lado 2ª lado honesta 4 possibilidades viciada C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Podemos espiar os dois lados da moeda O problema de Deutsch Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton? Aparentemente, não! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton cara: = 0 coroa: = 2 1 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton cara: = 0 coroa: = D1 1 2 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton moeda viciada: 1 2 1 2 0 fóton em D1 D1 D2 2 1 1 2 moeda honesta: 1 2 1 2 fóton em D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O início da computação quântica x = 0 x = 1 f1 f2 1 f3 f4 f constante f “balanceada” É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ? D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985). D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992). R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Mais aplicações a sistemas simples Molécula de H2+, benzeno, corante (Feynman). Maser de amônia. (Feynman, Basdevant, Le Bellac) Oscilação de neutrinos (Basdevant 2) Exemplos - Le Bellac. Polarização do fóton. (Le Bellac, Martin, Moyses) Spin ½. Relógio de Césio (Basdevant) Canais acoplados: transmissão por barreiras. Descoerência, efeito Zeno (M. Berry) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Mais aplicações (sistemas de N estados) N posições (Feynman). Molécula da benzeno (ver Le Bellac). Cristais; bandas (depois de férmions?) Spin > ½ Duas partículas (com 2 estados cada); produto de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Emaranhamento | | | | sistema I sistema II sistema composto subsistema I | subsistema II sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Emaranhamento Estados do sistema composto: sistema I no estado |, sistema II no estado | sistema I no estado |, sistema II no estado | Superposição estado emaranhado: Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Emaranhamento “O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes...” - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics, 1935 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Realismo, Contextualidade e Localidade “Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
grandeza medida no experimento Variáveis ocultas Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? variável “oculta” que determina o valor de A grandeza medida no experimento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Experimentos com um sistema composto II AI = 1 AII = 1 BII = 1 BI = 1 incompatíveis compatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Quatro experimentos com um sistema composto Quatro experimentos possíveis: Medida de AI e AII AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes Medida de AI e BII AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado Medida de BI e AII BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado Medida de BI e BII BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Quatro experimentos com um sistema composto grau de emaranhamento P(AI, AII) (em %) P(AI, BII) = 0 P(BI, AII) = 0 P(BI, BII) = 0 A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Experimentos com um sistema composto Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas: AI = +1 AII = +1 sempre BI = -1 BII = -1 !! Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
P(BI, BII) = 0 experimento 4 Estados de Hardy estado emaranhado P(BI, BII) = 0 experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Contextualidade b1 b2 a1 a2 (A, B) o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
medido em II (AII ou BII) Contextualidade o que está sendo medido em II (AII ou BII) o que está sendo medido em I (AI ou BI) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Não-localidade I II AI AII BII BI C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
O teorema de Bell Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
A fazer: Partículas idênticas Simetrias Posição e momentum Partícula em 1 dimensão: aplicações Partícula livre. Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. Oscilador harmônico (começar com a, a+ e terminar com x,p) Soma sobre caminhos (?) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Citações e Cartoons C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Dirac: colapso e salto quântico … a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed only by probability laws. (Dirac, p.7) When we measure a real dynamical variable , the disturbance involved in the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system. From physical continuity, if we make a second measurement of the same dynamical variable immediately after the first, the result of the second measurement must be the same as that of the first. Thus after the first measurement has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence, after the first measurement has been made, the system is in an eigenstate of the dynamical variable , the eigenvalue it belongs to being equal to the result of the first measurement. This conclusion must still hold if the second measurement is not actually made. In this way we see that a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement. (Dirac, p.16) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Dirac ...a new set of accurate laws of nature is required. One of the most fundamental and most drastic of these is the Principle of Superposition of States. (p.4) When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. (p.13) people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading. (p.14) It is desirable to have a special name for describing the vectors which are connected with the states of a system in quantum mechanics, whether they are in a space of a finite or an infinite number of dimensions. We shall call them ket vectors, or simply kets, and denote a general one of them by a special symbol |>. If we want to specify a particular one of them by a label, A say, we insert it in the middle, thus |A>. The suitability of this notation will become clear as the scheme is developed. (p.15) … a further assumption, namely the assumption that by superposing a state with itself we cannot form any new state, but only the original state over again. […] Thus a state is specified by the direction of a ket vector and any length one may assign to the ket vector is irrelevant. (p.17) -- P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Heisenberg When one wants to be clear about what is to be understood by the words "position of the object," for example of the electron (relative to a given frame of reference), then one must specify definite experiments with whose help one plans to measure the "position of the electron"; otherwise this word has no meaning. - W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Bohr It is decisive to recognize that, however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation, the account of all evidence must be expressed in classical terms. The argument is simply that by the word “experiment” we refer to a situation where we can tell others what we have done and what we have learned and that, therefore, the account of the experimental arrangement and of the results of the observations must be expressed in unambiguous language with suitable application of the terminology of classical physics. - N. Bohr (1949), Discussions with Einstein on epistemological problems in atomic physics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.17 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Bohr ... a limitação fundamental, encontrada na física atômica, da existência objetiva de fenômenos independentemente dos meios para sua observação. N. Bohr, Física Atômica e Conhecimento Humano, p.10 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Bell I mean too, by ‘serious’, that ‘apparatus’ should not be separated off from the rest of the world into black boxes, as if it were not made of atoms and not ruled by quantum mechanics. Information? Whose information? Information about what? There can be no question – without changing the axioms — of getting rid of the shifty split. Sometimes some authors of ‘quantum measurement’ theories seem to be trying to do just that. It is like a snake trying to swallow itself by the tail. It can be done - up to a point. But it becomes embarrassing for the spectators even before it becomes uncomfortable for the snake. [descoerência?!] The idea that elimination of coherence, in one way or another, implies the replacement of ‘and’ by ‘or’, is a very common one among solvers of the ‘measurement problem’. It has always puzzled me. (Against measurement, Physics World, August 1990) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Landau e Lifshitz . . . the ‘classical object’ is usually called apparatus and its interaction with the electron is spoken of as measurement. However, it must be emphasised that we are here not discussing a process . . . in which the physicist-observer takes part. By measurement, in quantum mechanics, we understand any process of interaction between classical and quantum objects, occurring apart from and independently of any observer. The importance of the concept of measurement in quantum mechanics was elucidated by N Bohr. (p.2) . . . Thus quantum mechanics occupies a very unusual place among physical theories: it contains classical mechanics as a limiting case, yet at the same time it requires this limiting case for its own formulation . . . " (p.3) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Gottfried e Yan It is natural to take it for granted that a particular value a displayed by a particular measurement of an observable A simply reveals a pre-existing value possessed by that individual specimen S, just as your head has a definite circumference before the tape measure is unfurled in a statistical study of the egos of physicists. This entirely sensible supposition is not valid, however: Values cannot be ascribed to observables prior to measurement; such values are only the outcomes of measurement. The common-sense inference that measurements reveal pre-existing values leads to implications that are contradicted by experiment, and are also incompatible with the Hilbert space structure of quantum mechanics. This conclusion is not obvious, and was not established firmly until some three decades after the discovery of quantum mechanics. The reasoning and experiments that lead to it will be given in chapter 12, but the conclusion is stated here to abort seductive misconceptions. p. 42-43 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Schlosshauer Whereas such superpositions of states have been experimentally extensively verified for microscopic systems (for instance, through the observation of interference effects), the application of the formalism to macroscopic systems appears to lead immediately to severe clashes with our experience of the everyday world. A book has never been observed to be in a state of being both “here” and “there” (i.e., to be in a superposition of macroscopically distinguishable positions), nor does a Schrödinger cat that is a superposition of being alive and dead bear much resemblance to reality as we perceive it. The problem is, then, how to reconcile the vastness of the Hilbert space of possible states with the observation of a comparatively few “classical” macroscopic states, defined by having a small number of determinate and robust properties such as position and momentum. Why does the world appear classical to us, in spite of its supposed underlying quantum nature, which would, in principle, allow for arbitrary superpositions? (M. Schlosshauer, RMP v. 76, p. 1268, 2004) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
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a2 a1 a2 a1 a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013