NOVEMBRO 2005

Motivação de Einstein Provar a existência dos átomos Química: lei de Dalton Termodinâmica: Clausius 2º princípio: entropia aumenta irreversibilidade Teoria cinética dos gases: Maxwell e Boltzmann temperatura absoluta interpretação estatística teorema H Opositores: Mach, Ostwald Radioactividade

Movimento Browniano Leeuwenhoek sec. XV Brown 1827, grãos de pólen: movimento incessante processo não biológico (…, fragmento da Esfinge, …) universalidade insensível a campos externos dependência: tamanho das partículas, temperatura Ingenhousz 1785

Simulação Sobre o movimento de pequenas partículas suspensas em líquidos em repouso exigido pela teoria cinético-molecular do calor teoria cinética prediz movimentos aleatórios observáveis suspeita que o movimento é Browniano teste poderoso à teoria cinética Número de Avogadro neste domínio termodinâmica clássica não é válida

Número de Avogadro-Loschmidt tese de doutoramento: dimensões moleculares outros métodos de medir o número de Avogadro-Loschmidt Smoluchowski 1906 Perrin Prémio Nobel 1926 Física Atómica e Nanotecnologias Número de Avogadro-Loschmidt

Einstein termodinâmica, pressão osmótica equilíbrio de duas correntes: difusão, deriva lei de Stokes (hidrodinâmica) Relação de Einstein dois coeficientes de transporte: constante de difusão viscosidade Teorema da flutuação-dissipação

velocidade posição desvio quadrático médio escala de tempo (de Smoluchowski) equação da continuidade corrente de difusão lei de Fick equação de difusão grandes tempos sobreamortecido

solução condição inicial coeficiente de difusão trajectórias: 1908 sem memória não diferenciáveis não balísticas

Distribuição Normal Gaussiana média, desvio padrão Teorema do limite central Lei dos grandes números

Constante de Boltzmann quantidades microscópicas entropia teoria da informação factor de Boltzmann

Constantes Fundamentais três constantes fundamentais: velocidade da luz constante de Boltzmann constante de Planck diferentes domínios de flutuações: térmicas, quânticas

Valores das Constantes temperatura ambiente Sistema de unidades de Planck

Equação de Langevin r Langevin 1908 velocidade equação de Newton coeficiente de atrito lei de Stokes (hidrodinâmica) força aleatória ou estocástica r

Langevin: ...demonstração que é infinitamente mais simples... hipótese de Langevin irregularidade de teorema da equipartição da energia assimptoticamente relação de Einstein

Ornstein e Uhlenbeck ruído branco, gaussiano equipartição da energia Teorema da flutuação-dissipação irreversibilidade equação fenomenológica

Argumento de Langevin correlação não nula: potencial não nulo difusão no tempo balístico, difusivo

Processos Estocásticos Processo de Ornstein-Uhlenbeck ruído branco Processo de Wiener

Movimento Browniano e fractais escala expoente de Hurst transições de fase, grupo de renormalização fractais 3ª lei de Kepler Auto-semelhante dimensão fraccionária Mandelbrot

Limite sobre amortecido Wiener equação de Smoluchowski

Equação de Kramers espaço de fase deriva difusão Liouville Equações de Liouville Fokker-Planck Brinkman 1956

Uso da Equação de Langevin Inconveniente: média sobre as trajectórias computação paralela Vantagem: correlações com tempos diferentes Problema da primeira passagem Trajectória a 2d

Passeio do Bêbado Probabilidade

Equação Mestra Ausência de memória processo Markoviana Equação de Chapman-Kolmogorov modelos discretos e contínuos

Integral de Caminho processo de Wiener propriedade Markoviana Iterando Integral de Wiener

Modelo microscópico Reversibilidade microscópica, Irreversibilidade termodinâmica Sistema acoplado a um banho térmico macroscópico, equilíbrio à temperatura resposta do banho ao sistema ruído condições iniciais do sistema correlações do ruído macroscópico tempo de Poincaré flutuação-dissipação

Teorema Flutuação-Dissipação em equilíbrio termodinâmico: resposta do sistema a uma pequena perturbação resposta a uma flutuação espontânea Teoria da resposta linear pequeno desvio do equilíbrio termodinâmico coeficientes de resposta e correlações no equilíbrio Fórmula de Kubo extensão a sistemas fortemente desviados do equilíbrio

Ruído de Johnson-Nyquist Schotty 1918 Johnson 1928 Nyquist 1928 correlações no tempo ruído branco

Aplicações Biografia (Pais 1982): o artigo da tese era o mais citado Difusão poluição Semicondutores: transporte de electrões e lacunas Polímeros, problema do volume excluído Sistemas desordenados: teorema do limite central não é válido Reacções químicas Sistemas predador-presa

Sistemas fora do equilíbrio variáveis lentas Transições de fase bi-estabilidade, meta-estabilidade Economia e finanças Bachelier, “Théorie de la Spéculation”, 1900 Difusão das moedas de euro (condições iniciais perfeitas) Biologia (motor perpétuo é impossível) motor Browniano ressonância na presença de ruído

Einstein e as Mecânicas Estatística e Quântica rederivou os trabalhos de Gibbs e de Boltzmann flutuação da energia aplicou a mecânica estatística à radiação electromagnética efeito fotoeléctrico 1905, 1909 energia regime de Wien e gás clássico 1917 momentum (eq. estocástica para o momentum)

estatística de Bose-Einstein condensação B-E opalescência crítica calor específico 1907 flutuações da energia modelo de Einstein, modelo de Debye Lei de Dulong-Petit

Flutuações efeito borboleta Física do sec. XIX determinista: condições iniciais Dois tipos de flutuações: estatísticas quânticas (radioactividade?) Sistemas caóticos efeito borboleta

Sobre a Mecânica Quântica “God does not play dice with the universe.” “God is subtle, but he is not malicious.” “I like to think that the moon is there even if I am not looking at it.”

Mecâ nica Quântica Equação de Schrödinger Tempo imaginário Fórmula de Feynman-Kac medida Formalismo da Mecânica Estatística Quântica Integral de caminho de Feynman: tempo real, acção flutuações em torno da trajectória clássica

Processos Estocásticos Quânticos Baixas temperaturas: efeitos quânticos Óptica quântica Meso e Nano tecnologias Informação e Computação Quânticas movimento aleatório quântico (moeda quântica) ruído colorido

Duas abordagens: equação de Schrödinger estocástica equação de Liouville quântica termos adicionais sistemas Markofianos: equação de Lindblad

Conclusões História, importância e aplicações do movimento Browniano Ideias em Mecânica Estatística Mesmo problema: várias abordagens Evolução das ideias: passagem do testemunho … nos ombros de gigantes … As ideias tornam-se autónomas

Aplicações e utilidade da Física Impacto na vida do dia a dia Beleza e elegância da Física e das Teorias Físicas A música e a pintura permitem emoções estéticas directas Física: ciência experimental, usa a linguagem da Matemática Física: história que perdura e continua…