Microeconomia A III Prof Microeconomia A III Prof. Edson Domingues Aula 11 Teoria dos Jogos – Estratégias Mistas 1

Referências VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2003. (tradução da sexta edição americana) – cap 28 e 29. PINDYCK, R. S., RUBINFELD, D.L. Microeconomia. São Paulo: Prentice Hall, 2002. (quinta edição). cap. 13 FIANI, R. Teoria dos Jogos: para cursos de administração e economia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. BERNI, D. A. Teoria dos Jogos: jogos de estratégia, estratégia decisória, teoria da decisão. Rio de Janeiro: Reichmann e Affonso Ed., 2004. 2 2

Estratégias Puras B L R U (1,2) (0,4) A D (0,5) (3,2) Existe algum equilíbrio de Nash em estratégia pura?

Estratégias Puras (1,2) B L R U (0,4) A D (0,5) (3,2) (U,L) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (0,4) B L R U (1,2) A D (0,5) (3,2) (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (0,5) B L R U (1,2) (0,4) A D (3,2) (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (3,2) B L R U (1,2) (0,4) A D (0,5) (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,R) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras B L R U (1,2) (0,4) A D (0,5) (3,2) (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,R) é um equilíbrio de Nash? Não.

Estratégias Puras B L R U (1,2) (0,4) A D (0,5) (3,2) Jogo não possui equilíbrio de Nash de Estratégia pura. Apesar disso, o jogo possui um equilíbrio de Nash, mas de estratégias mistas.

Estratégias Mistas Ao invés de jogar puramente U ou D, Jogador A seleciona uma distribuição de probabilidade (pU,1-pU), significando que com probabilidade pU o Jogador A jogará U e com probabilidade 1-pU jogará D. Jogador A está misturando suas estratégias puras U e D. A distribuição de probabilidade (pU,1-pU) é a estratégia mista do Jogador A.

Estratégias Mistas Similarmente, Jogador B seleciona uma distribuição de probabilidade (pL,1-pL), significando que com probabilidade pL o Jogador B jogará L e com probabilidade 1-pL jogará R. Jogador B está misturando suas estratégias puras L e R. A distribuição de probabilidade (pL,1-pL) é a estratégia mista do Jogador B.

Estratégias Mistas B L R U (1,2) (0,4) A D (0,5) (3,2) Este jogo não possui um equilíbrio de Nash de estratégia pura mas tem um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Como se calcula?

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2)

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2) Se B joga L, seu retorno esperado é

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2) Se B joga L, seu retorno esperado é Se B joga R, seu retorno esperado é

Estratégias Mistas Player B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Player A D,1-pU (0,5) (3,2) Se então B só jogaria L. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual B joga apenas L.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2) Se então B só jogaria R. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual B joga apenas R.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) A D,1-pU (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2)

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Se A joga U seu retorno esperado é

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Se A joga U seu retorno esperado é Se A joga D seu retorno esperado é

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) D, (0,5) (3,2) Se então A jogaria apenas U. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual A joga apenas U.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Se então A jogaria apenas D. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual A joga apenas D.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e.

Estratégias Mistas B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e.

Estratégias Mistas B L, R, U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Então, para que exista eq. de Nash , A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e.

Estratégias Mistas B L, R, U, (1,2) (0,4) A D, (0,5) (3,2) Então o único equilíbrio de Nash é o jogador A jogando a estratégia mista (3/5, 2/5) e o jogador B com a estratégia mista (3/4, 1/4).

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) U, (0,4) 9/20 A D, (0,5) (3,2) Os retornos serão (1, 2) com probabilidade

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 A D, (0,5) (3,2) Os retornos serão (0, 4) com probabilidade

Estratégias Mistas Player B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Player A (0,5) D, (3,2) 6/20 Os retornos serão (0, 5) com probabilidade

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 Os retornos serão (3, 2) com probabilidade

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 O retorno esperado de eq de Nash para A é

Estratégias Mistas B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 O retorno esperado de eq de Nash para A é O retorno esperado de eq de Nash para B é

Quantos equilíbrios de Nash? Um jogo com número finito de jogadores, cada um com um número finito de estratégias puras, possui pelo menos um equilíbrio de Nash. Portanto se o jogo não possui equilíbrio de Nash de estratégia pura, então ele deve ter pelo menos um equilíbrio de Nash de estratégia mista.

Estratégias Mistas – Jogos de Competição Goleiro E D E (50,-50) (80,-80) Chutador D (90,-90) (20,-20) Competição: retornos opostos em cada combinação. Retornos representam pontos do Chutador, e respectiva perda para o Goleiro. Chance de gol é melhor com escolhas opostas. Chance de defesa é melhor com escolhas (E,E) ou (D,D). Chutador é melhor com a esquerda, para escolhas (E,E) ou (D,D).

Estratégias Mistas – Jogos de Competição Goleiro E D E (50,-50) (80,-80) Chutador D (90,-90) (20,-20) Não há equilíbrio de Nash em estratégias puras. Há equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Qual a razão para os jogadores adotarem estas estratégias?

Estratégias Mistas – Jogos de Competição Goleiro E,pL D,1-pL E,pU (50,-50) (80,-80) Chutador D,1-pU (90,-90) (20,-20) Para que exista eq. de Nash , Goleiro deve estar indiferente entre E ou D; i.e.

Estratégias Mistas – Jogos de Competição Goleiro E,pL D,1-pL E,pU (50,-50) (80,-80) Chutador D,1-pU (90,-90) (20,-20) Para que exista eq. de Nash , Chutador deve estar indiferente entre E ou D; i.e.

Estratégias Mistas – Jogos de Competição Goleiro E (0,6) D (0,4) E (0,7) (50,-50) (80,-80) Chutador D (0,3) (90,-90) (20,-20) O retorno esperado de eq de Nash para Chutador é O retorno esperado de eq de Nash para Goleiro é

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta (Varian (2003), Capítulo 29.2*) Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) O retorno esperado de Coluna é A variação do retorno esperado de Coluna é: *Tradução da 6.a edição americana

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) A variação do retorno esperado é positiva quando 3l>2 e negativa quando 3l<2. Ganho de Coluna aumentará sempre que l>2/3 e reduzirá quando l<2/3. Portanto, Coluna aumentará c quando l>2/3, e diminuirá c quando l<2/3. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) A variação do retorno esperado Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1. Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 1 Melhor resposta de Coluna 1 2/3 l Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1. Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) O retorno esperado de Linha é A variação do retorno esperado de linha é:

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) A variação do retorno esperado é positiva quando 3c>1 e negativa quando 3c<1. Ganho de linha aumentará sempre que c>1/3 e reduzirá quando c<1/3. Portanto, linha aumentará l quando c>1/3, e diminuirá l quando c<1/3. Quando c=1/3, linha está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna E (c) D (1-c) E (l) (2, 1) (0,0) Linha D (1-l) (0,0) (1,2) A variação do retorno esperado Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1. Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0. Quando c=1/3, linha está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 1 Melhor resposta de Linha 1/3 1 2/3 l Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1. Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0. Quando c=1/3, linha está indiferente.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 1 Melhor resposta de Linha 1/3 Melhor resposta de Coluna 1 2/3 l Quantos equilíbrios de Nash?

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 1 Melhor resposta de Linha 1/3 Melhor resposta de Coluna 1 2/3 l Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras e um com estratégias mistas.

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta N2 1 Melhor resposta de Linha 1/3 M Melhor resposta de Coluna N1 1 2/3 l Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras (N1 e N2) e um com estratégias mistas (M).

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta N2 M N1 O retorno esperado de Coluna é O retorno esperado de Linha é No equilíbrio de estratégia mista (M):

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta N2 M N1 Retornos Esperados Equilíbrios de Nash N1 N2 M Linha 1 2 2/3 Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta pD 1 Melhor resposta do Goleiro 0,6 Melhor resposta do chutador 1 0,7 pU Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: um equilíbrio de Nash de estratégia mista. (Varian 29.4)