A NOÇÃO DE FUNÇÃO Belo Horizonte 2012 Prof.: Paulo Cesar Costa – Cap. QCO Belo Horizonte 2012

Problema 1: Em uma pista circular de testes, um automóvel desloca-se com velocidade constante. Com o auxílio de um cronômetro, marcam-se diferentes intervalos de tempo e, em cada intervalo de tempo, verificou-se a distância percorrida conforme tabela abaixo. Tempo (h) 0,2 0,4 0,8 1,6 2 Distância (km) 10 20 40 80 100 a) Qual a distância percorrida quando o tempo é igual a 2,8h? b) Qual é o tempo gasto quando a distância percorrida é 300km? c) Qual a lei matemática que associa a distância percorrida com o tempo? d) Podemos afirmar que a distância percorrida é função do tempo? e) No item c podemos ter t < 0? E d < 0? Resolução: a) d(2,8) = 50 × 2,8 = 140km b) t = 300 ÷ 50 = 6h c) d(t) = 50t d) sim e) não; não

Problema 2: Cada figura da sequência é formada por triângulos construídos com palitos. figura I figura II figura III figura IV Construa um quadro que relacione a quantidade p de palitos e a quantidade t de triângulos de cada figura. Quantos palitos são necessários para formar a figura dessa sequência composta de 6 triângulos? E a figura formada por 12 triângulos? Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de palitos em função da quantidade de triângulos. A figura formada com 41 palitos é composta de quantos triângulos? Resolução: a) b) p(6) = 2×6 + 1 = 13; p(12) = 2×12 + 1 = 25 t 1 2 3 4 p 5 7 9 c) p(t) = 2t + 1 d) 41 = 2t + 1 t = 20

Problema 3: Resolução: Observe a sequencia. 2 1 3 4 a) Quantos quadrados tem a figura 5 dessa sequência? E a figura 6? b) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de quadrados q em função do número da figura f. c) Calcule a quantidade de quadrados das figuras 8; 10 e 15 Resolução: a) q(5) = 52 + 2 = 27 e q(6) = 62 + 2 = 38 b) q(f) = f2 + 2 c) q(8) = 82 + 2 = 66; q(10) = 102 + 2 = 102; q(15) = 152 + 2 = 227

Problema 4: Renato trabalha como garçon em um restaurante nos fins de semana. Por dia de trabalho ele recebe R$25,00 mais 6% da quantia total gasta pelos clientes que ele atende. a) Quantos reais Renato receberá em um dia de trabalho se os clientes que ele atender gastarem ao todo R$150,00? E se gastarem R$260,00? b) Escreva uma expressão f por meio da qual seja possível calcular quanto Renato recebeu em um dia de trabalho em que os clientes que atendeu gastaram x reais. c) Se um certo dia Renato recebeu R$43,00, quantos reais ao todo gastaram os clientes que ele atendeu? Resolução: a) f(150) = 25 + 0,06 × 150 = 25 + 9 = 34 reais f(260) = 25 + 0,06 × 20 = 25 + 15,60 = 40,60 reais b) f(x) = 25 + 0,06x c) 43 = 25 + 0,06x 0,06x = 18 x = 300 reais

Problema 5: Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois planos de serviços: Plano A: mensalidade de R$9,55 mais R$0,26 por minuto falado; Plano B: mensalidade de R$26,30 mais R$0,10 por minuto falado a) Para cada um dos planos, escreva uma expressão por meio da qual seja possível calcular o valor pago em função da quantidade x de minutos falados. b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos no plano A, quanto vai pagar? E se ele usar o plano B? c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de ligação o plano B é mais vantajoso que o plano A? Resolução: a) plano A: A(x) = 9,55 + 0,26x plano B: B(x) = 26,30 + 0,1x b) Plano A: A(356) = 9,55 + 0,26×356 = 102,11 Plano B: B(356) = 26,30 + 0,1×356 = 61,90 c) B(x) < A(x) 26,30 + 0,1x < 9,55 + 0,26x x > 104,6 x > 105

RELAÇÃO Definição: Exemplos: 1 2 3 Considere dois conjuntos não vazios A e B. Qualquer maneira de associar os elementos de A com os elementos de B chama-se relação de A em B. Definição: Exemplos: A 1 2 3 4 7 8 B

FUNÇÃO Definição: Exemplos: 1 2 3 Uma função de A em B (f:A→B) é uma relação em que cada elemento x do conjunto A está associado a um único elemento y de B Definição: Exemplos: A 1 2 3 4 7 8 B função relação

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM E LEI DE ASSOCIAÇÃO Exemplo 1: A B -1 1 2 5 7 8 Domínio: D(f) = A = {-1, 0, 1, 2} Contradomínio: C(f) = B = {-1, 1, 5, 7, 8} Imagem: Im(f) = {-1, 1, 7} f:A→B Lei de Associação: f(x) = 2x2 - 1 Obs: Quando não estiverem explícitos o domínio e o contradomínio de uma função admitiremos que o contradomínio é R e o domínio é R exluídos os valores de x para os quais não vale a lei de associação.

Obtenha o domínio de cada uma das funções: exemplo 2: Obtenha o domínio de cada uma das funções: Resolução: a) D(f) = R b) x + 3 ≠ 0 x ≠ -3 D(g) = {x R; x ≠ -3} = R – {-3} c) x - 8 ≥ 0 x ≥ 8 D(i) = {x R; x ≥ 8} d) x - 1 ≥ 0 e x – 3 ≠ 0 x ≥ 1 e x ≠ 3 D(j) = {x R; x ≥ 1 e x ≠ 3} Obs: Em todos os casos do contradomínio é R.

exemplo 3: Seja f:R→R a função definida poela lei f(x) = 4x + 1. Calcule f(-1) + f(0) – f(11) Resolução: f(-1) = 4.(-1) + 1 = -4 + 1 = -3 f(0) = 4.0 + 1 = 0 + 1 = 1 f(11) = 4.11 + 1 = 44 + 1 = 45 Logo, f(-1) + f(0) – f(11) = -3 + 1 – 45 = -47

exemplo 4: Seja f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x – 6. Que valores do domínio tem imgem igual a -6? Resolução: f(x) = -6 x2 – 2x - 6 = -6 x2 – 2x = 0 x1 = 0 ou x2 = 2

exemplo 5: Sabe-se que f é uma função definida por f(x) = ax – 4, com a real e f(3) = 11. Calcule f(-5) Resolução: f(3) = 11 a.3 – 4 = 11 a = 5 Logo, f(x) = 5x - 4 f(-5) = 5.(-5) - 4 f(-5) = -29

exemplo 6: Considere a função g, definida por g(x) = ax + b, com a e b reais, g(2) = 8 e g(-2) = -4. Determine g(10). Resolução: a = 3 e b = 2 Logo, g(x) = 3x + 2 g(10) = 3.10 + 2 g(10) = 32

exemplo 7: (IME) Seja f:R→R onde R é o conjunto dos números reais, tal que: O valor de f(-4) é: a) -4/5 b) -1/4 c) -1/5 d) 1/5 e) 4/5 Resolução: f(0 + 4) = f(0).f(4) f(4) = f(0).f(4) f(0) = 1 f(-4 + 4) = f(-4).f(4) f(0) = f(-4).f(4) 1 = f(-4).5 f(-4) =1/5

exemplo 8: Seja f uma função, tal que f(1) = a, f(π) = b e f(x + y) = f(x).f(y), com x e y reais. Calcule f(2 + π). Resolução: f(x + y) = f(x).f(y) f(1 + 1) = f(1).f(1) f(2) = a2 f(x + y) = f(x).f(y) f(2 + π) = f(2).f(π) f(2 + π) = a2.b