Computabilidade e Linguagens Formais Problemas Notas baseadas em John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. “Introduction to automata theory, languages and computation”. 2nd ed, Addison-Wesley, 2001. Gabriel David / Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 01-04-2017 Problema 1 Considere a linguagem S* em que S= {aa, b}. Quantas palavras de comprimento 4, 5e 6 contém esta linguagem? O que pode concluir em geral? Resposta 4: aaaa, aabb, baab, bbaa, bbbb (5) 5: aaaab, aabaa, baaaa, aabbb, baabb, bbaab, bbbaa, bbbbb (8) 6: aaaaaa, aaaabb, aabaab, aabbaa, aabbbb, baabaa, baaaab, baabbb, bbaaaa, bbaabb, bbbaab, bbbbaa, bbbbbb (13) Cristina Ribeiro

Problema 2 (i) Seja S={ab, bb} e T={ab, bb, bbbb}. Mostre que S*=T*. (ii) Seja S={ab, bb} e T={ab, bb, bbb}. Mostre que S*T*, mas que S*  T*. (iii) Que princípio ilustram estes resultados? Resposta (i) S*  T*. Se w  S* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab e de bb. Ora quer ab quer bb pertencem a T e portanto w  T*. T*  S*. Se w  T* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab, bb e bbbb. Ora quer ab quer bb pertencem a S e bbbb corresponde a repetir bb que está em S e portanto w  S*.

Problema 2 (cont.) (ii) S*  T*. Se w  S* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab e de bb. Ora quer ab quer bb pertencem a T e portanto w  T*. S*T*, porque, por exemplo bbb  T* mas não a S*, uma vez que as cadeias só com b’s em S* tem que ter comprimento par pois são construídas à custa de repetições de bb. (iii) o princípio ilustrado é o de que S  T  S*  T*.

Problema 3 Suponha que numa certa linguagem L se podem sempre concatenar duas palavras e obter uma palavra em L, desde que as duas sejam diferentes, isto é, dadas w1, w2  L, w1w2, então w1w2  L, embora w1w1 não pertença. Mostre que isto não pode acontecer. Resposta Se w1, w2  L então w1w2  L e w1w2w1  L e, fazendo x1= w1w2w1 e x2=w2, w1w2w1w2  L. Mas então, fazendo agora x1= w1w2, também x1x1  L, contrariando a hipótese.

Problema 4 Apesar de alguma semelhanças, as expressões regulares não são polinómios algébricos. Quais das seguintes igualdades são verdadeiras? Justifique. (i) (a+b)* = (a+b)* + (a+b)* (ii) (a+b)* = (a+b)* b (a+b)* (iii) (a+b)* = (a+b)* + a* (iv) (a+b)* = (a+b)* (a+b)* (v) (a+b)* = a(a+b)* + b(a+b)* (vi) (a+b)* = (a+b)*ab(a+b)*+b*a* Resposta falsas são (ii), porque exige sempre um b, e (v) porque falta o caso vazio (acrescentar ); na (vi) trata-se primeiro os casos em que existe um ab e com b*a* todos os outros

Problema 5 Considere a expressão regular e simplifique-a Resposta E = (a+b)*a(a+b)*(a+)(a+b)*a(a+b)* Resposta Aplicar a propriedade distributiva E = (a+b)*a(a+b)*(a)(a+b)*a(a+b)* + (a+b)*a(a+b)*()(a+b)*a(a+b)* Reconhecer: 1ª operando exige 3 a’s, enquanto que o segundo exige apenas 2, o que inclui o caso dos 3. Simplifica para: E= (a+b)*a(a+b)*a(a+b)*

Problema 6 Considere o autómato da figura. Obtenha uma expressão regular que defina a mesma linguagem usando (i) o método da construção de caminhos (ii) o método da redução de nós 2 a,b a a Start 1 4 b a b b 3

Problema 6 (cont.) Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))* Rkj(k-1) 2 Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))* Rkj(k-1) a,b a a Start R12(1)=a+()*a = a 1 4 b a b b R11(0)  R12(0) a R13(0) b R14(0)  R21(0) R22(0) R23(0) R24(0) R31(0)  R32(0) b R33(0)  R34(0) R41(0) R42(0) R43(0) R44(0) +a+b R11(1)  R12(1) a R13(1) b R14(1)  R21(1) R22(1) R23(1) R24(1) R31(1)  R32(1) b R33(1)  R34(1) R41(1) R42(1) R43(1) R44(1) + a+b 3

Problema 6 (cont.) Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))* Rkj(k-1) 2 a,b a a Start 1 4 b a b R11(2)  R12(2) a R13(2) b+aa R14(2) aa R21(2)  R22(2) R23(2) R24(2) R31(2)  R32(2) b+ba R33(2) +ba R34(2) R41(2) R42(2) R43(2) R44(2) +a+b R11(3)  R12(3) a+(b+aa)(ba)*(b+ba) R13(3) b+aa +(b+aa)(ba)*(+ba) R14(3) aa+(b+aa)(ba)*(b+ba) R21(3)  R22(3) +a(b+a)(b+ba) R23(3) a+a(+ba)*(+ba) R24(3) a+a(ba)*(b+ba) b 3 R12(2)=a+a()* = a R13(2)=b+a()*a = b+aa R32(2)=b+b()*a = b+ba R12(3)=a+(b+aa)(+ba)*(b+ba) = a+(b+aa)(ba)*(b+ba)

Problema 6 (cont) Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))* Rkj(k-1) 2 a,b a a Start 1 4 b a b b R31(3)  R32(3) b(+a)+(ba)*b(+a) R33(3) (ba)* R34(3) b+ba+ (ba)*(b+ba) R41(3) R42(3) R43(3) R44(3) +a+b 3 R14(4)=aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)+(aa+(b+aa)(ba)*(b+ba))(+a+b)*(+a+b)= aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)+(aa+(b+aa)(ba)*(b+ba))(a+b)*

TC2- Lógica Proposicional 01-04-2017 Problema 6 (cont) 2 Eliminar 2 e depois 3 a,b a a Start 1 4 b a b b a,b 3 aa Start 1 4 a,b ba aa+(b+aa)(ba)*(b+ba) b+aa b+ba Start 1 4 3 R= [aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)](a+b)* = = [aa+b(ba)*b+b(ba)*ba +aa(ba)*b + aa(ba)*ba](a+b)*= = (aa+bb)(a+b)* Cristina Ribeiro