Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98 Analogia entre Sinais e Vectores Isabel Milho e Fernando Sousa CCISEL, ISEL DEEC, ISEL

Analogia entre Sinais e Vectores Introdução Espaços Vectoriais (operações e relações) Espaços de Sinais (def. produto interno) Aplicações Série de Fourier / Transformada de Fourier DCT em compressão de imagem Descritores de Fourier em imagem (contornos) Desenho de sistemas de comunicação digital ... 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Espaços Vectoriais Operações e relações produto interno, norma, ortogonalidade, teorema de Pitágoras, desigualdade de Schwarz’s, base ortonormada, procedimento de Gram-Schmidt 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Espaços de Sinais Produto Interno medida de semelhança entre 2 sinais Norma (Energia ou Potência): ou Sinais de Energia Energia do erro é mínima Desenho de projecção vectorial Sinais de Potência 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Série de Fourier Base ortonormada de sinais sinais de potência periódicos em T0 Coeficientes da Série de Fourier 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Transformada de Fourier Sinais de energia Transformada de Fourier 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Transformadas Discretas DFT e DCT Transformadas discretas de sinais 1D e 2D Representação do sinal original - base de funções/imagens Filtragem, compressão de dados, extracção de características e outras aplicações DFT e DCT (Discrete Fourier/Cosine Transform) Implementação em O(Nlog2N) operações com o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) E outras aplicações: análise espectral DFT: Uma das Transformadas mais importantes no Processamento Digital de sinal e imagem. Propriedades atractivas para aplicações de processamento de imagem. Maioria das transformadas tem tendência para concentrar a maior parte da energia do sinal em apenas alguns coeficientes da transformada. Muitos dos coeficientes contem pouca energia, podendo ser desprezados. 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

DFT-Discrete Fourier Transform com Spectral Analysis Finite Impulse Response Digital Filter Design Análise de fourier na conversão A/D ideal e prática IDFT 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

DCT-Discrete Cosine Transform com A transformada do coseno consegue uma taxa de compressão elevada em dados altamente correlacionados. A variação dos coeficientes vai diminuido à medida que (m,n) aumenta. Implementação com o algoritmo FFT: O(Nlog2N) operações IDCT 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Linha de uma imagem digital com 256 níveis de cinzento Linha da imagem digital DFT DCT 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Compressão de imagem usando a DCT Valores apresentados em log(abs(..)) 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Compressão de imagem usando a DCT (cont.) Imagem Original Taxa de compressão = 75% Taxa de compressão = 93,75% 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Representação de contornos com Descritores de Fourier Representação do contorno definido pelos pontos (x,y) tal que: Descritores de Fourier - FD (Fourier Descriptors) 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Representação de contornos com Descritores de Fourier (cont.) Contornooriginal FD’s (Parte Real) Os Descritores de Fourier obtiveram resultados satisfatórios na resolução de problemas de reconhecimento de caracteres FD’s (Parte Imaginária) Reconstrução com os FD’s quantizados em 25 níveis Reconstrução com apenas 9 FD's 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Desenho de Sistemas de Comunicação Digital M={m1, m2, m3, m4} base ortonormada Proc. Gram-Schmidt - obter a base que representa os sinais (símbolos) transmitidos Dimensão da base N<=M Projectar o sinal recebido corrompido com ruído branco - produto interno Banco de correladores 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Detector óptimo Banco de Correladores 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Descodificador óptimo erros=[2 1 3 2] media(erros)=2 percentagem=2% Regra de decisão óptima: Produto interno 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Outras aplicações Desenho do filtro óptimo para detecção de pulsos na presença de ruído Interpretação dos valores de um sinal amostrado, como coordenadas da projecção do sinal sobre uma base ortonormada de funções sinc Funções de correlação - sua interpretação como funções de produtos internos (deslizantes). … 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Analogia entre Sinais e Vectores Conclusões Ferramenta “Analogia entre Sinais e Vectores” simples (operações e relações vectoriais) facilita a compreensão de algumas operações em processamento de sinais reduz a complexidade do problema Aplicações: filtragem, compressão de dados, extracção de características, desenho de sistemas comunicação digital e outras. 16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores