Modelagem de Sistemas Computacionais Revisão Estatística Aula 05 Profa. Priscila Solís Barreto

Estatística “Uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões”

População de Montenegro População e Amostra População de Montenegro 70.000 Amostra 2.000 Amostra é um subconjunto da população

Fonte: Dados fictícios elaborados pelo autor Notas da turma Tabela 1 – Notas da Turma Cabeçalho Notas Frequencia 4 1 5 6 7 20 8 22 9 32 10 Corpo Fonte: Dados fictícios elaborados pelo autor Rodapé

Gráficos Coluna Histograma Barras Setores

Qual o resultado aconteceu com maior frequencia? Dada a amostra: 3 – 7 – 10 – 6 – 8 – 6 – 8 – 4 – 5 – 7 – 6 – 10 – 9 – 5 – 6 – 3 Qual o resultado aconteceu com maior frequencia? Número frequencia 3 2 4 1 5 6 7 8 9 10

Dado o conjunto de números, Média Dado o conjunto de números, 8, 4, 6, 9, 10, 5 Determine a média: 8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5 = 42 = 7 6 6

Determine o salário médio Salários Fr 240 - 480 15 480 - 720 22 720 - 960 30 960 - 1200 18 1200 - 1440

Mediana = Md É o do meio Desde que colocados em ordem crescente 8 – 0 – 7 – 4 – 7 – 10 – 6 – 5 Colocando em ordem crescente: 0 – 4 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 10 Md = 6+7 = 6,5 2

Calcule a Mediana Alturas Frequencia (f) Frequencia Acumulada 160 – 163 4 163 – 166 8 12 166 – 169 10 22 169 – 172 9 31 172 – 175 7 38 175 – 178 45 178 - 181 5 50 Total

Alturas Frequencia (f) Frequencia Acumulada 160 – 163 4 163 – 166 8 12 166 – 169 10 22 169 – 172 9 31 172 – 175 7 38 175 – 178 45 178 - 181 5 50 Total

Moda = Mo Resultado com maior frequencia

Moda = Mo Idade Frequencia (f) Frequencia Acumulada 18 – 21 9 21 – 24 12 21 24 – 27 33 27 – 30 17 50 30 – 33 16 66 33 – 36 14 80 36 – 39 11 91 39 – 42 100 Total

Dado o conjunto abaixo, determine o desvio médio: 8 – 4 – 6 – 9 – 10 – 5 4 – 5 – 6 – 8 – 9 – 10 4+5+6+8+9+10 = 42 42/6 = 7 8 – 7 = 1 4 – 7 = 3 6 – 7 = 1 9 – 7 = 2 10 – 7 = 3 5 – 7 = 2 1+3+1+2+3+2 = 12 12/6 = 2

88/50 = 1,76 Salário Mínimo Funcionários 1 – 2 1 2 – 3 4 3 – 4 6 4 – 5 5 – 6 6 – 7 10 7 – 8 9 8 – 9 9 – 10 3 Total 50 Média 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 1,5 10 21 22,5 33 65 67,5 51 28,5 300 Média dos salários é: 300/50 = 6 Média 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 - 6 4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 20,5 Freq 1 4 6 5 10 9 3 50 Freq 4,5 14 15 7,5 3 5 13,5 10,5 88 88/50 = 1,76

Amostra (n-1) População n

22.000/8 = 2750 99808 / 8 = 12476 raiz quadrada = 111,70 Func Salários 2800 2650 2920 2878 2682 2700 2570 Total 22000 Média 2750 Desvio 50 100 170 128 68 180 816 Ao quadrado 50 100 170 128 68 180 816 Resultado 2500 10000 28900 16384 4624 32400 99808 Freq 1 22.000/8 = 2750 99808 / 8 = 12476 raiz quadrada = 111,70

Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .  = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar.  = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada.  = {t: t  0}

Eventos: subconjuntos do espaço amostral  Notação: A, B, C ...  (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6}   B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}   C: sair face 1 C = {1}  

Operações com eventos A  B: união dos eventos A e B. Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A  B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A  B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A  B =  A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A  B =  e A  B =  O complementar de A é representado por Ac.

Exemplo: Lançamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} Exemplo: Lançamento de um dado sair uma face par e maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} =  sair uma face par ou maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} não sair face par AC = {1, 3, 5}

Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: Freqüências de ocorrências Suposições teóricas.

Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das freqüências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.  Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado  Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral  = {w1,w2, ... } A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que:

Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então Se e (pontos equiprováveis), então

Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe. Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos. Sexo Alfabetizado Total Sim Não Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 85.881 15.969 101.850 Fonte: IBGE- Censo 1991 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.

M: jovem sorteado é do sexo masculino;  : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos ir para a tabela 0,474 101.850 48.249 = 0,526 101.850 56.601 = P(M) = P(F) = 0,843 101.850 85.881 = 0,157 101.850 15.969 = P(S) = P(N) =

M  S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino? M  S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino S) S Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? M  S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino S) S

Sejam A e B eventos de . Então, Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de . Então, P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Conseqüências: Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A  B) = P(A) + P(B). Para qualquer evento A de , P(A) = 1 - P(Ac).

PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades Analogamente, se P(A) >0,

temos P(S | M) = 39.577 / 48.249 = 0,82. P(M) M) P(S | definição, Pela Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Sexo Alfabetizada Total Sim Não Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 85.881 15.969 101.850 temos P(S | M) = 39.577 / 48.249 = 0,82. P(M) M) P(S | definição, Pela = Ç 0,82. 101.850 48.249 39.577 =

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

B V 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados Temos

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos B V 1 Total V V VB BV BB Probabilidade Resultados

Neste caso, P(A) = P(branca na 2ª) = P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) = ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração.

Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, Ainda temos a seguinte forma equivalente:

P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/4 x 3/4 = 3/16 Exemplo: A probabilidade de João ser aprovado no vestibular é 1/4 e a de Maria é 3/4. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: João é aprovado B: Maria é aprovada P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/4 x 3/4 = 3/16