Matemática Fundamental Conjuntos Numéricos Giovanni Spavier

Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Leitura e Escrita de Números Classe = grupo de 3 algarismos a contar da direita O nº pode ser lido indicando a classe: vinte e cinco mil trezentos e vinte e sete unidades. Ordem = É a posição que cada nº ocupa na leitura. O nº pode ser lido indicando a ordem de cada algarismo: Duas dezenas de milhar, cinco milhares, três centenas, duas dezenas e sete unidades.

Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Eles são: Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …} Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} Z*+ = N* Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Racionais Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim, como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,... Números decimais exatos são racionais  0,1 = 1/10  2,3 = 23/10 ... Números decimais periódicos são racionais. 0,1111... = 1/9 0,3232 ...= 32/99 2,3333 ...= 21/9 0,2111 ...= 19/90  Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

Conjunto dos Números Racionais 3,14159265... Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências) 2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula. 2,252525... Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número ∏ (Pi) (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o Pi. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …) São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

Frações

Numerador (dividendo), representa o número de partes que estão a ser consideradas. Denominador (divisor), representa o número de partes iguais em que se supõe dividida a Unidade. Traço da fração indica operação divisão.

Exemplo: leitura de frações dois sextos Um quarto Quatro sextos Dois oitavos Quatro dezesseis avos

5:2 =2,5 ou Números inteiros e fracionários Número racional inteiro, porque o numerador é múltiplo do denominador. Número racional fracionário, porque o nu- merador não é múltiplo do denominador. O número fracionário cinco meios pode ser representado por: 5:2 =2,5 ou Uma fração Um numeral decimal

Frações Próprias , Impróprias e Decimais. Frações próprias são as frações onde os denominadores são maiores que os numeradores. Frações impróprias são frações onde os numeradores são maiores que os denominadores. LUNATMAT Denominam-se frações decima- is, todas as frações que apresen-tam potências de 10 no denomi-nador.

Frações decimais Números decimais Exemplos:

O que são números racionais? Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração. Exemplos: 1 _ 4 1 - Frações 5 _ 10 1 _ 2 2 - Decimais 0,5 = = 10 _ 100 :10 3 - Porcentagens 1 _ 10 10% = =

Como fazer a transformação? Frações em decimais: basta dividir o numerador pelo denominador. OBS.: se o resultado for uma dízima periódica (divisão que não acaba nunca = 0,3333...) é melhor trabalhar com a fração. Exemplos: 3 _ 4 = 2 _ 5 0,75 b) 0,4 a) =

Como fazer a transformação(cont.) Decimais em porcentagem: basta multiplicar por 100. Exemplos: a) 0,75 0,75 100 75 % = = . 100 40 % b) 0,4 0,4 = = . Dica: para multiplicar por números múltiplos de 10 (100, 1000, etc), basta deslocar a virgula para a direita (número de casas igual a quantidade de zeros do múltiplo).

Como fazer a transformação(cont.) Porcentagem em Frações: basta escrever a porcentagem na forma de fração e depois simplificar a fração. Exemplos: Simplificar por 25 100 _ 75 3 _ 4 a) 75 % = = Simplificar por 20 2 _ 5 100 _ 40 b) 40 % = =

Atividade: Fração Decimal Porcentagem 0,4 35 % 0,6 45 % 0,8 Copie e complete o quadro abaixo, fazendo as respectivas transformações Atividade: Fração Decimal Porcentagem 0,4 35 % 0,6 45 % 0,8 0,2 20 % 2 / 5 40 % 7 / 20 0,35 0,25 25 % 3 / 5 60 % 9 / 20 0,45 0,75 75 % 4 /5 80 %

Percentagens

Num inquérito de rua foram interrogadas 100 pessoas sobre um determinado assunto.

Percentagens Qual a percentagem das que responderam SEM OPINIÃO? Qual a percentagem das que responderam sim? Quantas pessoas responderam NÃO? Cada uma podia responder SIM, NÃO ou SEM OPINIÃO.

Percentagem como uma parte de um todo.

Formas diferentes de escrever uma percentagem Uma percentagem pode ser apresentada sob a forma de razão ou sob a forma de numeral decimal. Por exemplo:

Na resolução de um problema de percentagens temos sempre, pelo menos, três valores.

= 71,43% Resolução de problemas calculando percentagens As percentagens são muitas vezes utilizadas para representarem uma parte de um todo. = 71,43%

Outra forma de utilização da percentagem é indicar uma variação de uma grandeza.

1.º variação absoluta: 1998 - 1012 = 986 2.º variação relativa: Uma forma de proceder consiste em calcular sucessivamente: Por exemplo: Num bairro havia, em 1974 , 1012 eleitores, e, em 2005 , 1998 eleitores. A variação do número de eleitores pode ser indicada sob a forma de percentagem. 1.º variação absoluta: 1998 - 1012 = 986 2.º variação relativa: Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .

1.º variação absoluta: 1998 - 1012 = 986 2.º variação relativa: Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .

Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa. As percentagens para estabelecer comparação Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.

As percentagens para estabelecer comparação + 60% R$ 80,00 R$ 45,00 - 43,75% Em termos relativos diz-se que: • As botas custam mais 60% do que os sapatos. • Os sapatos custam menos 43,75% do que as botas.

O ESSENCIAL Escrever uma percentagem Uma percentagem pode ser escrita sob a forma de numeral decimal ou sob a forma de fração.

5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg O ESSENCIAL Aplicar uma percentagem a um número 5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg

Antes do aumento a Ana ganhava x . O ESSENCIAL Determinar o valor inicial ou de referência conhecendo o valor final e a percentagem Com o aumento de 5,5% que obteve no seu ordenado, Ana ganha agora 1213,25 reais. Quanto ganhava antes do aumento? Antes do aumento a Ana ganhava x . Ana ganhava 1150 reais.

O ESSENCIAL Calcular uma percentagem conhecendo os valores inicial e final Antônio ganhava 1100 reais e agora ganha 1200. Quanto foi a percentagem de aumento? 1200 - 1100 = 100 O ordenado do Antônio sofreu um aumento de, aproximadamente, 9,09% .

Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa. As percentagens para estabelecer comparação Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.

Usar as percentagens para estabelecer comparações O ESSENCIAL Usar as percentagens para estabelecer comparações R$ 999,00 R$ 1000,00 R$ 4,00 R$ 5,00 Em termos relativos o colar custa mais 0,1% do que os brincos. Em termos relativos pode afirmar-se que a bola custa mais 25% que a boneca. Repare que é muito diferente aumentar 1 real a R$ 999,00 do que aumentar 1 real a R$ 4,00 .