Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013 Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

Parte A 3ª aula completa para a graduação

Objetivos desta aula Sistemas de Referência Coordenadas Homogêneas. Transformações entre sistemas de coordenadas. Cinemática de manipuladores: Modelo geométrico de um manipulador. Modelo de Denavit-Hartenberg. Cinemática direta. Capítulos 2 e 3 de “ Introduction to Robotics”, de J. J. Craig.

Introdução

Introdução Para realizar o controle do manipulador é necessário o estudo do seu funcionamento mecânico. Mecânica = dinâmica + estática + cinemática!

Cinemática Cinemática é o estudo do movimento dos robôs sem levar em conta as forças e as massas envolvidas. Envolve apenas: posição, velocidade, aceleração e suas derivadas.

O problema central da cinemática O problema central da cinemática é como definir a posição do robô: Cinemática direta: A partir das posições das articulações, encontrar a posição e orientação da ferramenta no espaço cartesiano da base. Cinemática inversa: Definir as posições das articulações, dada uma posição e orientação desejada para a ferramenta.

O problema central . . .  x Z px , py, pz n i 2 Y 1 O X Atuador Base Atuador 1 2 i n px , py, pz    Variáveis das Juntas Variáveis no espaço cartesiano Direta (Juntas)  x (Cartesiano) Inversa

Solucionando a Cinemática Para solucionar os problemas de cinemática direta e inversa, “basta” saber computar as relações matemáticas entre as posições de cada elo: Adota-se um sistema de coordenadas por elo. Utiliza-se conceitos de álgebra linear ...

Descrições Espaciais e Transformações Capítulo 2 do Craig.

Descrições espaciais Uma descrição é uma matriz utilizada para descrever os objetos com os quais um manipulador deve tratar. A descrição de uma posição é uma matriz 3 x 1:

Descrições espaciais (II) A descrição de uma orientação é uma matriz de rotação 3 x 3: Denota a diferença entre a orientação desejada e um sistema de coordenadas qualquer:

Descrição de uma posição XA ZA {A} AP YA

Translação x0 = x1 + xf, y0 = y1 + yf. {B} ZB AP {A} ZA BP YB APBORG XB AP BP XA ZA YA {A} APBORG

Rotação 2D XA YA YB XB x0 y0 x1 y1 

Rotação 3D YA XA ZA BP XB ZB YB

Matrizes de rotação parciais 3D

De {A} para {B} {A} XB αX αY αZ Pode-se concluir que:

Sistemas de Referências (Frames) Um sistema de referência é uma descrição da posição e orientação de um objeto de maneira conjunta. É composto por 4 matrizes, que eqüivalem a uma matriz de posição (origem do sistema) e uma matriz de rotação.

Sistemas de Referências (Frames) Como visto na segunda aula, existem diversos sistemas de referências utilizados: Sistema de coordenadas do mundo. Sistema de coordenadas de juntas. Sistema de coordenadas do ponto de montagem. Origem do sistema: Centro do Atuador.

Sistema do mundo (Base)

Sistema da garra

Sistemas com nomes definidos. Base, Wrist, Tool, Station, Goal

Sistemas com nomes definidos.

Mapeamento entre 2 sistemas A relação entre dois sistemas quaisquer é conseguida com uma translação e uma rotação. x z y x z y

Mapeamento Se {A} possui a mesma orientação de {B}, então {B} difere de {A} por uma translação APBORG: AP = BP + APBORG Mapeamento: a mudança de descrição de um frame para outro. O vetor APBORG define um mapeamento.

Mapeamentos gerais: Translação + Rotação 2D XA YA ZA AP XB YB ZB BP APBORG {A} Qual a matriz que implementa esta transformação???

Matriz de transformação homogênea

Coordenadas Homogêneas A matemática para implementar a composição de translação e rotação se torna complicada quando se deseja realizar diversas operações. Fato comum em Álgebra Linear, usada em Robótica e Computação Gráfica. Matrizes de transformações homogêneas permitem compor transformações de maneira elegante: Rotações, Translações e Escalas. Em qualquer dimensão do espaço.

Coordenadas Homogêneas Uma representação homogênea de um vetor n-dimensional utiliza um vetor com n+1 elementos. O vetor real é obtido dividindo-se todos os elementos pelo elemento n+1. O elemento n+1 é um fator de escala.

Matriz homogênea Um conjunto de transformações no mundo 2D pode ser representada completamente por uma matriz 3 x 3:

Matriz de Transformação Homogênea 3D 3x3 rotationmatrix 3x1 translation matrix perspective global scale

Exemplo Um frame {B} se encontra rotacionado com relação a um frame {A} por 30 graus (sobre o eixo z), e transladado de 10 unidades no eixo x e 5 unidades no eixo y. Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?

Exemplo Dado que: Usamos a definição e encontramos:

Interpretações da matriz de transformação homogênea. O mapeamento muda a descrição de um ponto de um sistema de coordenadas para o outro. No mapeamento, o ponto não é modificado: somente sua descrição se altera.

Cinemática de manipuladores Capítulo 3 do Craig.

Definição mecânica de um manipulador Um manipulador pode ser representado por n corpos rígidos móveis e um corpo fixo, ligados por n juntas (ou articulações), formando uma estrutura de cadeia. Teoria de elementos (ou corpos rígidos) é muito bem fundamentada na engenharia mecânica.

Definição mecânica de um manipulador Um manipulador é uma cadeia cinética composta por: Elos (Links): Os corpos da cadeia. Juntas (Joints): As articulações entre os corpos. Conectam os elos e permitem a realização de movimentos de um elo em relação ao elo anterior.

Exemplo de manipulador: PUMA

Elos (Links) Um elo (link) é um corpo rígido que define uma relação entre duas juntas adjacentes de um manipulador. Elos são numerados em ordem crescente, iniciando pela base do manipulador: A base imóvel é o elo 0 A primeira parte móvel é o elo 1, ...

Numeração dos elos Elo 2 Elo 1 Elo 3 Elo 0

Juntas ou Articulações Juntas (ou articulações) são definidas por vetores no espaço 3D: A junta i é definida pelo vetor no espaço sobre o qual o elo i rotaciona (ou translada) em relação ao elo i - 1. São numeradas a partir do primeiro elo.

Juntas Todas podem ser produzidas a partir de duas: Revolução (R) e Prismática (P) Sliding pair – Prismatic (P) Rotating pair – Revolute (R)

Tipos de juntas Revolução (R): Prismática (P): Cilindrica (C): 1 Dof (Rotação) Prismática (P): 1 Dof (Translação) Cilindrica (C): 2 Dof (Rotação + Translação) Helicoidal (H) 1 Dof (Rotação/ Translação com acoplamento) Planar (E) 2 Dof (Translação em 2 direções) Esférica (S) 3 Dof (Rotação em 3 direções)

Seis possíveis juntas

Configuração de alguns robôs Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP Hand coordinate: n: normal vector; s: sliding vector; a: approach vector Articulated: RRR SCARA: RRP

Numeração das Juntas Junta 2 J 3 Junta 4 J 1 Junta 6 Junta 5 Elo 2

Parâmetros dos elos Um elo é especificado por dois parâmetros que definem a posição relativa e a orientação dos eixos da junta incidente no elo: O comprimento do elo (link lenght), denominado a. A torção do elo (link twist), denominado .

Comprimento do elo ai-1 O comprimento do elo é a distância entre os eixos das suas juntas ao longo de uma linha mutualmente perpendicular aos eixos das juntas. Esta perpendicular mútua sempre existe e é única, exceto no caso onde os eixos das juntas são paralelos... Neste caso existem infinitas perpendiculares de tamanho idêntico.

Torção do elo ai-1 A torção de um elo é o ângulo entre as projeções dos eixos das juntas em um plano cuja normal é mutualmente perpendicular aos eixos. Este ângulo é medido do eixo i-1 para o eixo i usando a regra da mão direita sobre a perpendicular mútua.

Parâmetros dos elos

Parâmetros das juntas Offset, di Ângulo de junta, i A distância ao longo do eixo da junta i entre as intercessões das perpendiculares mútuas com os eixos dos elos i-1 e i Variável para juntas prismáticas. Ângulo de junta, i O ângulo entre as perpendiculares mútuas incidentes no eixo da junta i. Variável para juntas rotacionais.

Parâmetros elo e juntas

Notação de Denavit-Hartenberg Metodologia que está se tornando padrão para calcular os parâmetros necessários do modelo cinemático. O modelo de D-H permite obter a posição e a orientação da ferramenta. O modelo D-H define completamente a cinemática do manipulador.

Notação de Denavit-Hartenberg Um robô pode ser especificado ao se descrever os valores de 4 parâmetros para cada elo: comprimento (i-1), torção (i-1), offset (i) e ângulo (i). A definição da mecânica de um manipulador usando estes parâmetros segue a notação de Denavit-Hartenberg. A Notação D-H especifica ainda...

Valores para ai e ai dos elos 0 e n O comprimento e a torção de um elo i dependem das juntas adjacentes. Com isso, os términos da cadeia ficam indefinidos. Por convenção, define-se:

Parâmetros da junta 1 Se a junta 1 for prismática: Se a junta 1 for de rotação:

Sistemas de referências Cada corpo elementar (elo) da cadeia cinemática deve ser fixado em um sistema de referência (frame). Existe uma convenção para anexar sistemas de referências aos elos, dada pela Notação D-H: Frames são numerados de acordo com o elo ao qual ele está ligado. Frame {i} está ligado ao elo i.

Designando referências aos elos O eixo Zi do frame {i} está alinhado como eixo da junta i. A origem do frame {i} está localizada no ponto onde a perpendicular ai intersecciona o eixo da junta i. O eixo Xi do frame {i} está alinhado como a perpendicular ai na direção de i para i+1. Yi = Zi  Xi (use regra da mão direita).

Definição dos eixos Zi Definição dos eixos Zi Zi Zi

Frames e elos

Junta n+1 Junta n x n z n x n+1 z n+1 z n x n l n q n+1 Elo n q n

Junta n Junta n-1 Elo n Junta n+1 Elo n-1 zn zn+1 xn+1 yn+1 dn ln yn zn-1 xn an yn-1 ln-1 xn-1 qn

Designando referências aos elos: casos especiais Se ai = 0 (ou seja, os eixos se interceptam): Xi = Zi x Zi+1, isto é, Xi é perpendicular aos eixos i e i+1 (Use a regra da mão direita).

Designando referências aos elos: primeiro elo O frame {0} é escolhido de maneira arbitrária: escolha o eixo Z0 alinhado com o Z1, de maneira que o frame {0} e {1} sejam iguais quando a variável da junta 1 for zero. Neste caso: e d1 = 0 se a junta 1 for de rotação, ou 1 = 0 se a junta 1 for prismática.

Designando referências aos elos: último elo Se a junta for de revolução: Escolha o eixo Xn para coincidir com o Xn-1 quando n = 0. Escolha a origem do frame {n} de maneira que dn = 0. Se a junta for prismática: Escolha o eixo Xn de maneira que n = 0. A origem do frame {n} é a interseção de Xn-1 e o eixo da junta n quando dn = 0.

Notação D-H a partir dos frames ai: a distância entre os eixos Zi e Zi+1 medida sobre o eixo Xi. i: o ângulo entre os eixos Zi e Zi+1 medida sobre o eixo Xi. di: a distância entre os eixos Xi-1 e Xi medida sobre o eixo Zi. i: o ângulo entre os eixos Xi-1 e Xi medidos sobre o eixo Zi-1 .

Resumo link-frame attachment (Craig, pg 77 da 2a. Edição ou 69 da 3a. Edição)

Exemplo 1: D-H para robô 3R

Exemplo 1: D-H para robô 3R Y0 ˆ Y1 Y3 Y2 X0 X1 X2 X3 i  i - 1 a i - 1 d i  i 1  1 2 L1  2 3 L2  3

Exemplo 2: Braço de Stanford

Exemplo 2: Braço de Stanford

Exemplo 2: Braço de Stanford 3 1 2 Axes 4, 5, 6

Braço de Stanford X1 Y1 Z1 X2 Z2 X3 Z3 X4 X5 X6 Z4 Z5 Z6 X7 Z7

Parâmetros D-H Stanford Arm i ai di i i 1 a1 b1 90° 1 2 a2 b2 2 3 a3 b3 (var) 4 a4 4 5 a5 b5 0° 5 6 a6 b6 6

O Modelo cinemático de um manipulador

O modelo cinemático Expressa a posição e a orientação do elemento terminal do robô em relação a um sistemas de coordenadas fixo a base, em função das coordenadas de juntas. O modelo pode ser descrito por uma função que exprime o espaço cartesiano em função do vetor de coordenadas angulares.

O modelo cinemático O mapeamento T consiste na expressão analítica da composição dos movimentos das juntas para realizar o movimento do elemento terminal do robô.

A transformação para um elo Rotacione sobre Xi-1 o ângulo ai-1 Translade sobre Xi-1 a distância ai-1 Rotacione sobre Zi o ângulo qi Translade sobre Zi a distância di Ou seja:

Transformação para um elo. Notação para diminuir o tamanho: sen = s cos = c

Joint n Joint n-1 Link n Joint n+1 Link n-1 zn xn yn zn+1 dn ln zn-1 an yn-1 an-1 an-1 xn+1 ln-1 yn+1 xn-1 qn

Matriz cinemática Relaciona o sistema de coordenadas solidárias à base do robô com o sistema de coordenadas associadas à sua ferramenta terminal. Em coordenadas homogêneas. Resulta do produto das matrizes de transformação de cada elo: Transforma passo a passo.

Exemplo 3: Matriz Cinemática para o robô 3R

Matriz cinemática para o robô 3R

Matriz cinemática para o robô 3R

Matriz cinemática para o robô 3R

Matriz cinemática para o robô 3R

E a ferramenta (ou o último elo)?

E a ferramenta? L3 ????? {End Effector} = {Tool}

Exemplo 3: Equação completa

Exemplo 4: Puma

Modelo cinemático de um Puma first identify the six joint axis

Modelo cinemático de um Puma z0 = z1 z2 z3 z5 z6 z4 Then assign the z-axis of the coordinate frames (either along the joint axis)

Modelo cinemático de um Puma x0 = x1 = x2 x3 z5 z6 z4 Then assign the x-axis of the coordinate frames for 1 –3 (either along the joint perpendicular or along the normal to the plane)

Modelo cinemático de um Puma

Modelo cinemático de um Puma x5 y5 x6 z6 x3 y3 x4 z4 d4 Then assign the x-axis of the coordinate frames for 4-6 (either along the joint perpendicular or along the normal to the plane)

Modelo cinemático de um Puma

Parâmetros de elo e junta para o PUMA i ai-1 di qi 1 q1 2 -90 q2 3 a2 d3 q3 4 a3 d4 q4 5 90 q5 6 q6  

Transformações para o Puma x y z a1 q1 q2 q4 q3 q6 a2 a3 a4 a5 q5 0T1 = Trans(z, a1) Rot(z, q1) 1T2 = Trans(x, a2) Rot(x, q2) 2T3 = Trans(z, a3) Rot(x, q3) 3T4 = Trans(z, a4) Trans(y, -a5) Rot(z, q4) 4T5 = Rot(x, q5) 5T6 = Rot(z, q6)

Compute cada transformação Usando a equação generalizada: Computamos cada matriz de transformação de elo:

Compute todas as individuais Multiplicando todas as matrizes individuais de links: Temos finalmente:

Equações cinemáticas do PUMA Onde:

Cinemática direta

Cinemática direta Permite, a partir dos valores das coordenadas de juntas, calcular a posição do manipulador. Usado para o controle do manipulador. O problema: Determine a posição da ferramenta dados os valores das juntas θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, … θn Solução: Basta calcular a matriz cinemática.

Matriz cinemática… (revendo) 3x3 rotationmatrix 3x1 translation matrix perspective global scale

Exemplo algébrico: Robô 1R O Robô 1R possui apenas uma junta rotacional… É o pêndulo simples... (x,y,f) . L1

Equações para o Robô 1R Solução completa:

Equações para o Robô 2R (x,y,f) Solução completa:

Equações para o Robô 3R Solução completa: ( x , y ) f l q l y q l q x REFERENCE POINT ( x , y ) f l 3 q 3 l 2 y q l 2 1 q 1 x Solução completa:

Equações para um robô PRRR Solução completa: Palletizador da Adept.

Conclusão Modelagem do manipulador é relativamente simples. Modelo D-H é uma receita de como modelar o robô. Cinemática direta é simples. A seguir: Laboratório com Matlab!

Fim… próxima aula (de teoria)… How do I put my hand here?