RESUMO DE APOSTILA Matemática Aplicada UNIDADE II

Educação a Distância – EaD Matemática Aplicada Professor: Flávio Brustoloni

Matemática Aplicada Cronograma: Turma ADG 0096 Data Atividade 13/12 1º Encontro 20/12 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 24/01 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 31/01 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

Unidade 2 A TEORIA DOS JOGOS

Objetivos da Unidade: Compreender os conceitos e definições da teoria dos jogos, conhecer os tipos de jogos, suas operações e suas aplicações; Resolver problemas do cotidiano envolvendo a teoria dos jogos; Aplicar o conceito da teoria dos jogos em problemas do cotidiano.

Conceitos e Definições sobre a Teoria dos Jogos Tópico 1 1/36

1 Introdução Tópico 1 Unid. 1 A teoria dos jogos representa um método para ampliar os dados necessários para uma tomada de decisão. Historicamente, a teoria dos jogos vem evoluindo e modelos de jogos são aplicados em Administração, Ciências Políticas, Estratégias Militares, Economia, Engenharia e outras áreas de atuação do homem. 35 2/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 O que é um jogo? “Um jogo seria uma representação formal que permitiria a análise de situações em que agentes interagem entre si, agindo racionalmente”. 37 3/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 * Interações: são situações entre vários agentes dentro de uma determinada situação. Por exemplo, vários vendedores de eletrodomésticos têm várias estratégias de vendas para atingirem suas metas. 37 4/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 * Agentes: um agente é qualquer pessoa que participa do jogo, portanto tem tomada de decisão. Um agente não pode estar ao mesmo tempo nos dois lados do jogo. 37 5/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 * Racionalidade: os agentes são racionais quando empregam os métodos adequados aos objetivos que almejam, sejam quais forem estes objetivos. Podemos afirmar que a racionalidade é fundamental para a melhor compreensão das regras e dos limites da teoria dos jogos. 37 6/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 * Comportamento Estratégico: partindo-se do princípio de que todos os jogadores usam estratégias diferentes entre si, a utilização da racionalidade e do poder de decisão de cada jogador terá influências decisivas nos resultados dos jogos entre empresas ou instituições. 38 7/36

Um exemplo de jogo em Administração: 2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 Um exemplo de jogo em Administração: Uma montadora de automóveis está decidindo se reduz o preço de seu modelo de carro com menores vendas. Como em geral há poucas montadoras de automóveis com participação significativa no mercado, isso significa que sua decisão terá consequências sobre as vendas das empresas que produzem modelos concorrentes ao seu. 38 8/36

2 Conceitos Básicos Tópico 1 Unid. 1 Ela deverá levar isso em consideração, pois sua decisão de reduzir o preço de seu modelo poderá levar as empresas competidoras a também reduzirem seus preços. Por outro lado, as outras empresas devem considerar a possibilidade e a empresa em questão reduzir o preço de seu modelo cujas vendas não vão bem, ao definirem os preços de seus modelos. 38 9/36

Modelando um Jogo Tópico 2 10/36

2 Modelando um Jogo Tópico 2 Unid. 1 A lógica do processo inicia-se com o conceito de modelo. Entendemos como modelos determinísticos os modelos sem incerteza. Aqueles em que há trabalhos com causa e efeito conhecendo as variáveis. Já os probabilísticos envolvem as tendências, estimativas ou probabilidades que decorrem da Estatística. 43 11/36

2 Modelando um Jogo Tópico 2 Unid. 1 Num jogo, sempre temos que ter estratégia e rever posições para tomar a decisão correta. Para obtermos o melhor resultado possível, devemos sempre interagir com os demais jogadores para não sermos surpreendidos. 44 12/36

2 Modelando um Jogo Tópico 2 Unid. 1 Temos uma preciosa informação sobre as regras do jogo: “você pode mudar as regras do jogo. Mas lembre-se: as outras pessoas também podem mudar as regras, não presuma que as suas regras prevalecerão sempre”. 44 13/36

2 Modelando um Jogo Tópico 2 Unid. 1 Duas lojas A e B baixam seus preços abaixo do ponto de equilíbrio a atuam na faixa de prejuízo (as duas lojas). Está estabelecido o paradigma perde-perde, pois as duas perderão nesta promoção. No entanto, a falta de habilidade na negociação pode prejudicar a continuidade dos negócios no futuro. O objetivo de qualquer negócio é o lucro e não o prejuízo. 44 14/36

O Jogo e suas Variáveis Tópico 3 15/36

2 Introdução à Probabilidade Tópico 3 Unid. 1 Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Ex.: Analisar a duração de vida de uma lâmpada. 51 16/36

2 Introdução à Probabilidade Tópico 3 Unid. 1 Para cada experimento aleatório E, definimos o espaço amostral S, o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. Evento é o conjunto de resultados de um experimento. Em particular, é um subconjunto do espaço amostral S. É representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 52 17/36

2 Introdução à Probabilidade Tópico 3 Unid. 1 A probabilidade P de um acontecimento A, é igual ao quociente entre o número de casos deste acontecimento n (A) e o universo total de casos possíveis n (T). P = n(A) / n(T) 52 18/36

Há duas categorias de combinação: 3 Leis da Probabilidade Tópico 3 Unid. 1 Há duas categorias de combinação: “ambos” implica P(A e B)  P (A,B)  (multiplicação) “um ou outro” implica P(A ou B)  P (A + B)  (adição) 52 19/36

3 Leis da Probabilidade P = n(A) / n(T) Tópico 3 Unid. 1 Entendemos por probabilidade a razão entre o número possível de possibilidades de um fato acontecer (nA) e o número total de possibilidades (nT). P = n(A) / n(T) 52 20/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 1) Uma caixa contém 8 parafusos dos quais 3 são defeituosos. Retirado um parafuso, qual a probabilidade do mesmo: a) ser defeituoso? P = 3/8 = 0,375 (37,5%) b) não ser defeituoso? P = 5/8 = 0,625 (62,5%) 52 21/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 2) Uma caixa contém 9 fichas, sendo 5 delas do tipo A. Retirada uma ficha, qual a probabilidade desta: a) ser do tipo A? P = 5/9 = 0,555 (55,5%) b) não ser do tipo A? P = 4/9 = 0,444 (44,4%) 53 22/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 3) Numa empresa há 6 contadores, 8 engenheiros e 6 administradores. Fazendo-se um par de profissionais, qual a probabilidade de: 53 23/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 a) Ambos serem engenheiros? 53 p (E,E) = 8 / 20 . 7/19 = 56/380 = 0,147 (14,7%) 24/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 b) Um ser contador e outro administrador? 53 p (C,A) = 6 / 20 . 6 / 19 = 36/380 = 0,094 (9,4%) 25/36

3 Leis da Probabilidade Exemplos Tópico 3 Unid. 1 c) Um ser contador e outro engenheiro? 53 p (C,A) = 6 / 20 . 8 / 19 = 48/380 = 0,126 (12,6%) 26/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 Suponha que as notas obtidas em um exame com a participação de 10 pessoas foram: 50, 60, 60, 70, 70, 90, 100, 100, 100, 100 54 27/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 Primeiro vamos calcular a média das notas: Média = (50.1 + 60.2 + 70.2 + 90.1 + 100.4)/10 Média = 800/10 = 80 = E(x) 54 28/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 De forma similar, definimos a variância de uma tabela de probabilidades como sendo a soma ponderada dos quadrados das diferenças entre cada resultado e o valor esperado (média). Isto é, se m denota o valor esperado, então para se ter uma ideia de como as notas se distribuem, podemos calcular a diferença entre cada nota e a média das notas. 54 29/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 50 – 80 = (-30) | 60 – 80 = (-20) | 70 – 80 = (-10) | 100 – 80 = 20 Portanto a variância será: [(-30)2.1 + (-20)2.2 + (-10)2.2 + (10)2.1 + (20)2.4] / 10 = 320 A raiz quadrada da variância será o desvio padrão da distribuição de notas: Desvio padrão = √320 = 17,89 54 30/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 Exemplo1: Uma possível aposta no jogo de roleta consiste em apostar U$ 1 no “vermelho”. Os dois possíveis resultados são: “perde U$ 1” e “ganha U$ 1”. Estes são os resultados e suas probabilidades. (Observação: uma roleta em Las Vegas tem 18 números vermelhos, 18 números pretos e dois números verdes). Calcule o valor esperado e a variância do “ganho”. 55 31/36

Tópico 3 Unid. 1 55 Roleta em Las Vegas 32/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas Tópico 3 Unid. 1 Apostar U$ 1 no vermelho. E(x) = (-1) .20 / 38 + 1. 18/38 = -0,0526 1ª Possibilidade: Perder 20 (18 pretos + 2 verdes) sobre total (38 posições) 2ª Possibilidade: Ganhar 18 (18 vermelhos) sobre total (38 posições) Conclusão: poderemos ganhar e perder nas apostas, mas a longo prazo perderemos 0,0526 de dólar a cada aposta. 55 33/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas 4.1 As Partes da Estratégia Tópico 3 Unid. 1 Como mudar o jogo? As maiores oportunidades e os maiores ganhos reais ocorrem quando se joga o jogo certo. As partes, não se separam do todo. Quando o autor fala em partes, está falando em interações, agentes, racionalidade, comportamento estratégico entre outros elementos que compõem um jogo. 62 34/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas 4.1 As Partes da Estratégia Tópico 3 Unid. 1 Exemplo: “Trazendo fregueses”: 1. Eduque o mercado. 2. Pague os fregueses para jogarem. 3. Subsidie alguns fregueses, e outros fregueses pagantes se seguirão. 4. Experimente você mesmo. Torne-se seu próprio freguês a fim de expandir o mercado, garantir a demanda e alcançar a escala.” 63 35/36

4 Variáveis Aleatórias Discretas 4.1 As Partes da Estratégia Tópico 3 Unid. 1 Exemplo: “Trazendo fornecedores”: 1. Pague-os para jogarem. 2. Forme uma coligação de compra para tornar-se um comprador maior. 3. Experimente você mesmo: torne-se seu próprio fornecedor para garantir o suprimento e ficar mais competitivo. 63 36/36

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

Matemática Aplicada PRÓXIMA AULA: 3º Encontro da Disciplina 2ª Avaliação da Disciplina (10 Questões objetivas – SEM CONSULTA)