CENTRO MASSA Centro massa para um de sistema de 2 partículas Centro massa para várias partículas Centro de massa de corpos contínuos e uniformes Centro de massa e simetrias

CENTRO MASSA Na mecânica existem várias situações em que se pode considerar a massa de um corpo, ou mesmo de vários corpos, como se estivesse concentrada em um único ponto. A esse ponto se dá o nome de centro de massa.

CENTRO MASSA PARA UM DE SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS (lembrar que a aceleração instantânea de uma partícula é )

(porque ) Definimos: Então: onde M=m1+m2 é a massa total do sistema Distinguimos FORÇAS INTERNAS ( e ) das FORÇAS EXTERNAS ( e ). Somando-se as equações termo a termo: (porque ) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam. Definimos: Então: onde M=m1+m2 é a massa total do sistema

O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele. xCM M ou  é a 2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas Em particular, se

Exemplo 1. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas. xCM x x1 (b) muito pequeno muito pequeno

Exemplo 2

Exemplo 3

EXEMPLO 4 Centro de massa

No caso particular em que m = 80 kg m = 60 kg Exemplo 5. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles? Só há forças internas ao sistema  o centro de massa tem velocidade constante. Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda. O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas

 é a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas: CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES  é a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas: o sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.

Exemplo 6: Para o sistema de 3 partículas representado na figura, calcule a posição do centro de massa do sistema abaixo:

CENTRO DE MASSA DE CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral: A massa infinitesimal dm pode pertencer a: um fio, uma superfície ou um volume: : densidade linear de massa dm = : densidade superficial de massa : densidade volumétrica de massa Se o corpo (volume) tiver densidade uniforme: Normalmente, não precisamos calcular estas integrais triplas!

CENTRO DE MASSA E SIMETRIAS Se um corpo tem um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o centro de massa m situa-se nesse ponto, linha ou plano. Centro de simetria CM Linhas de simetria CM Planos de simetria Lembrar que o centro de massa de um corpo não é necessariamente um ponto do corpo!

Exemplo 7