Conjuntos (continuação) Notação Os operadores de conjunto (união, interseção, etc.) serão introduzidos através de definições axiomáticas na linguagem Z Forma geral de uma definição axiomática onde T é uma variável de tipo que possibilita definições polimórficas [T] declaração predicado

União Definição Teoremas [X] __: [P X  [P X  [P X  S, T : [P X . S  T = {x:X | x  S  x  T} [X] Teoremas S  S = S idempotência S  T = T  S comutatividade S  (T  R) = (S  T)  R associatividade S  {} = S elemento neutro S  (S  T)

Interseção Definição Teoremas [X] __: [P X  [P X  [P X  S, T : [P X . S  T = {x:X | x  S  x  T} [X] Teoremas S  S = S idempotência S  T = T  S comutatividade S  (T  R) = (S  T)  R associatividade S  {} = {} elemento nulo (S  T)  S S  (T  R) = (S  T)  (S  R) distributividade S  (T  R) = (S  T)  (S  R) distributividade

Diferença Definição Teoremas [X] _\_: [P X  [P X  [P X  S, T : [P X . S \ T = {x:X | x  S  x  T} [X] Teoremas S \ S = {} S \ {} = S {} \ S = {} (S \ T) \ R = S \ (T  R) (S \ T)  S (S  T) \ R = (S \ R)  (T \ R) (S  T) \ R = (S \ R)  (T \ R)

União Distribuída  {S1, S2, ..., Sn} = S1  S2  ...  Sn Generalização da união binária para um número arbitrário de conjuntos  {S1, S2, ..., Sn} = S1  S2  ...  Sn Exemplos  {{1,2,3}, {2,3,4}, {5,6}} = {1,2,3,4,5,6}  {{1}} = {1}  {{}} = {}

União Distribuída  : [P ([P X)  [P X  {} = {}  {S,T} = S  T Definição  : [P ([P X)  [P X  SS : [P ([P X) .  SS = {x:X |  S : SS . x  S} [X] Teoremas  {} = {}  {S,T} = S  T  (SS  TT) = ( SS)  ( TT) ( SS) \ T =  {S : SS . S \ T} SS  TT  ( SS)  ( TT)

Interseção Distribuída Generalização da interseção binária para um número arbitrário de conjuntos  {S1, S2, ..., Sn} = S1  S2  ...  Sn Exemplos  {{1}, {1,2}, {1,2,3}} = {1}  {{1},{1,2},{2,3}} = {}  {{1}} = {1}

Interseção Distribuída Definição  : [P ([P X)  [P X  SS : [P ([P X) .  SS = {x:X |  S : SS . x  S} [X] Teoremas  {S,T} = S  T  (SS  TT) = ( SS)  ( TT) S \ ( TT) =  {T : TT . S \ T} SS  TT  ( TT)  ( SS)

Uma especificação usando conjuntos Controle de acesso de pessoas a um local (por exemplo, sala de aula) Operações Inicialização (inicialmente não há pessoas) Inclusão (chegada de uma nova pessoa) Remoção (saída de uma pessoa) Consulta (verifica se ausente/presente) Restrição Máximo de 50 pessoas na sala

Uma especificação usando conjuntos: estrutura de um solução imperativa program Controle_Acesso type Pessoa = ... type Mensagem = ausente | presente; var s : set Pessoa; const lim = 50; procedure init () ... s = {} ... procedure inclusao(p: Pessoa) ... if (lim < 50) and (p  s) then s = s  {p} ... procedure exclusao(p: Pessoa) ... if p  s then s = s \ {p} ... procedure consulta(p: Pessoa; m: Mensagem) ... if p  s then m = presente else m = ausente ...

Em Z ... Deve-se abstrair da representação de alguns tipos que modelam entidades básicas (como Pessoa). Isto é feito introduzindo-se apenas um nome para o tipo, entre colchetes, sem uma definição Exemplo: [Pessoa] Constantes são introduzidas como em linguagens de programação Exemplo: lim == 50 Tipos enumerados são semelhantes aos datatypes de programação funcional Exemplo: Msg ::= ausente | presente

Em Z ... As variáveis globais, juntamente com as restrições sobre valores que estas podem assumir, formam o estado do sistema e são declaradas dentro de uma estrutura denominada esquema Exemplo: Estado s : |P Pessoa # s  lim

Em Z ... Como variáveis em lógica não podem ser atribuídas, faz-se necessária uma convenção para representar a mudança de estado. Em Z, usa-se o símbolo ’ no final do nome da variável Exemplo: s’ = s \ {p} Quando o símbolo é usado em um nome de esquema, este é adicionado a todas as variáveis Exemplo: Estado´ corresponde ao esquema Estado’ s’ : |P Pessoa # s’  lim

Em Z ... A inicialização define os valores iniciais das variáveis de estado e devem usar o ’ para indicar a atribuição de valor Exemplo: Observe a ocorrência do nome do esquema Estado na parte de declaração de Init; isto permite o acesso às variáveis Init Estado’ s’ = {}

Em Z ... Algumas operações modificam o estado e referenciam variáveis de estado iniciais e as finais (com o ’). Tais operações devem incluir o esquema D Estado que equivale a D Estado Estado Estado’ D Estado s,s’ : |P Pessoa #s  lim  #s’ lim

Em Z ... A operação de inclusão é um exemplo de operação que muda o estado Observe a variável p? na parte de declaração de esquema: é uma convenção para variáveis de entrada Inclusão D Estado p?: Pessoa (#s < lim ^ p?  s) s’ = s  {p?}

Em Z ... Algumas operações não modificam o estado mas devem tornar isto explícito. Tais operações devem incluir o esquema XEstado Exemplo: XEstado Estado Estado’ s’ = s

Em Z ... A operação de consulta é um exemplo de operação que não muda o estado Observe a variável m! na parte de declaração de esquema: é uma convenção para variáveis de saída Consulta X Estado p?: Pessoa m!: Msg (p? Î s ^ m! = presente) v (p? Ï s ^ m! = ausente)

Especificação em Z: Controle de Acesso Estado s : |P Pessoa # s  lim Init Estado’ s’ = {} [Pessoa] lim == 50 Inclusão D Estado p?: Pessoa (#s < lim ^ p?  s) s’ = s  {p?} Msg ::= ausente | presente Consulta X Estado p?: Pessoa m!: Msg (p? Î s ^ m! = presente) v (p? Ï s ^ m! = ausente) Exclusão D Estado p?: Pessoa p? Î s s’ = s \ {p?}