O método dos gradientes conjugados Francisco A. M. Gomes MT402 – Matrizes – junho de 2008

Funções quadráticas Chamamos de quadrática uma função f(x):n  que pode ser escrita na forma onde Ann, bn e c.

Exemplo de função quadrática

Curvas de nível da quadrática Repare que as curvas de nível de f, neste exemplo, são elipses. Em cada curva do gráfico, encontramos pontos com o mesmo valor de f.

Gradiente O gradiente de uma função f(x) é dado por Para um dado ponto x, o gradiente fornece a direção de maior crescimento de f(x).

Exemplo de gradiente O gradiente é ortogonal à curva de nível. No exemplo, as setas apontam para o lado de fora das elipses, de modo que o ponto (2,-2) é o mínimo de f(x). Em (2, -2), temos f’(x) = 0.

Quadráticas e sistemas lineares De uma forma geral, escrevemos o gradiente de uma função quadrática f(x) na forma: Se a matriz A é simétrica, temos Podemos tentar minimizar uma função quadrática f(x) igualando o gradiente a zero. Isso equivale a resolver o sistema Ax = b.

Mínimo ou máximo? Entretanto, dependendo de A, o ponto crítico de f(x) pode um máximo local.

Pontos de sela O ponto crítico de f(x) também pode ser um ponto de sela.

Matrizes definidas positivas Se a matriz A, além de simétrica, é definida positiva, então a função quadrática f(x) é um parabolóide voltado para cima, e a solução de f’(x) = 0, ou de Ax = b, é o ponto de mínimo de f(x).

O método da máxima descida Também chamado de método do gradiente. Começa em um ponto x0 arbitrário Gera uma seqüência de pontos x1, x2, ... Caminha para o ponto de mínimo do parabolóide, x*, seguindo a direção do vetor –f´(x).

Definições importantes Erro em xi: ei = x* – xi. Resíduo em xi: ri = b – Axi. O resíduo pode ser visto como o erro transformado por A: ri = b – Axi = A(x* – xi) = Aei. O resíduo também pode ser visto como a direção de máxima descida de f(x) em xi: ri = –f’(xi).

Idéia do método Dado x0, podemos encontrar um ponto x1 que diminua o resíduo (ou f(x)), dando um passo na direção de –f ’(x0). Em outras palavras, podemos encontrar x1 definido como x1 = x0 + r0. O parâmetro  é denominado comprimento do passo.

Definindo o tamanho do passo Para encontrar o melhor valor de , minimizamos f(x) ao longo da direção definida por r0, ou seja, fazemos uma busca linear:  minimiza f(x0 + r0)  é determinado igualando a zero a derivada de f(x0 + r0) com relação a :

Algoritmo Este procedimento é repetido por várias iterações, até que xi esteja suficientemente próximo de x*.

Taxa de convergência Infelizmente, o método do gradiente não possui, em geral, boa taxa de convergência. Na verdade, podemos provar apenas que onde  é o número de condição de A. Assim, se A tem um número de condição alto, pouco podemos esperar deste método.

Hiperelipsóides alongados Quando (A) é alto, as curvas de nível de f(x) são hiperelipsóides muito alongados. Para exemplificar isso, vamos resolver o sistema Ax = b com Neste caso, (A) = 1.0201e+005.

Hiperelipsóides alongados, parte 2 Para esse exemplo, o método da máxima descida fez 3825 iterações, usando ||r||/||b||<0,00001 como critério de parada e partindo do ponto [0, 0]T.

O método dos gradientes conjugados É um método que usa a mesma fórmula recursiva do método do gradiente, ou seja, xk+1 = xk + kdk, Mas que não usa como vetor direção o resíduo no ponto xk: dk  rk = b – Axk.

Idéia geral do método Vamos tentar encontrar, a cada iteração k, um vetor dk que seja linearmente independente dos anteriores d0, ..., dk-1; faça com que xk+1 minimize f(x) no espaço gerado pelos vetores d já definidos. (Naturalmente, esse espaço é o subespaço de Krylov K(A,d0,k))

Idéia geral do método, parte 2 Assim, xk+1 deve resolver o problema onde Dk é a matriz cujas colunas são os vetores d0, ..., dk. Desta forma, ao final de n iterações, teremos minimizado f(x) em n, obtendo, assim, a solução do sistema linear Ax = b.

Encontrando w Para obter uma expressão computável para xk+1, substituímos o termo xk+1 = xk + Dk w na fórmula de f(xk+1):

Encontrando w, parte 2 Derivando f(xk+1) com relação a w, obtemos um ponto de mínimo dado por Deste modo,

Vetores ortogonais Constatamos que rk+1 é ortogonal aos vetores di (colunas de Dk), pois Assim, djTrk+1 = 0, para j = 1, ..., k.

Vetores ortogonais, parte 2 Se, nas iterações anteriores, os valores de xj, j = 1, ..., k, também foram obtidos de modo a minimizar f(xj-1 + Dj-1 wj-1), concluímos, por indução, que djTri = 0 para j < i. Substituindo este termo na expressão de xk+1, temos onde  = dkTrk e ek corresponde à késima coluna da identidade.

Usando vetores A-conjugados Para simplificar a expressão de xk+1 e facilitar os cálculos, podemos tentar fazer com que a matriz DkTADk seja diagonal. Para tanto, basta exigirmos que os vetores dj sejam A-conjugados, ou seja, que diTAdj = 0 para i  j.

Como obter vetores A-conjugados Lembrando que a iteração do método é definida por podemos obter um conjunto de direções A-conjugadas: Escolhendo d0 = r0 (como no método da máxima descida) Definindo rk como uma combinação linear de d0, ..., dk, de modo que (1)

Como obter vetores A-conjugados (2) Desta última equação, obtemos Como as direções dj são A-conjugadas, Mas , de modo que Uma vez que, de (1), temos riTrj = 0, i  j, Concluímos que kj = 0, j = 1,...,k – 2.

Como obter vetores A-conjugados (3) Apenas k,k-1  0. Chamemos de k este valor Claramente Como Obtemos E como, de (1), temos Chegamos a Assim, a expressão de dk torna-se

Algoritmo Dados de entrada: A matriz A (simétrica, definida positiva). O vetor b. Uma aproximação inicial x0 da solução do sistema. Os parâmetros  (tolerância do resíduo) e kmax (número máximo permitido de iterações).

Algoritmo, parte 2 1 r0  b – Ax0 2 k  0; -1  0; d-1  0 3 Enquanto ||rk||2/||b||2 >  e k  kmax, 3.1 dk  rk + k dk-1 3.2 k  rkTrk/dkTAdk 3.3 xk+1  xk + kdk 3.4 rk+1  rk – kAdk 3.5 3.6 k  k + 1

Convergência do método Teoricamente, o método converge para a solução do sistema linear em n iterações. Entretanto, nem sempre isso acontece em virtude dos erros de arredondamento e cancelamento que fazem com que o vetor resíduo perca precisão; os vetores direção deixem de ser A-conjugados, ou seja, Isso ocorre quando A é mal condicionada.

Exemplo com A bem condicionada » A = sprand(100,100,0.05,0.5) +0.1*speye(100); » A = A'*A; » condest(A) ans = 11.085 » b = rand(100,1); » x = pcg(A,b); pcg converged at iteration 15 to a solution with relative residual 9.8e-007

Exemplo com A mal condicionada » A = sprand(100,100,0.05,0.0001) +0.1*speye(100); » A = A'*A; » condest(A) ans = 3.7142e+008 » x = pcg(A,b); pcg stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-006... » x = pcg(A,b,1e-5,1000); pcg converged at iteration 232 to a solution with relative residual 2.6e-006

Taxa de convergência Assim, a distância entre f(xi) e f(x*) está limitada por um termo que é próximo de 1 se k(A) é grande. Felizmente, o método costuma convergir mais rápido do que podemos prever, principalmente quando precondicionado.