Nov 98 I.T., Aveiro 1 Maria Joana Soares Departamento de Matemática Universidade do Minho Instituto de Telecomunicações Aveiro, Novembro 98

Nov 98 I.T., Aveiro 2 Notações Transformada de Fourier

Nov 98 I.T., Aveiro 3 Localização tempo-frequência Transformada de Fourier com janela g

Nov 98 I.T., Aveiro 4 Transformada de Fourier com janela Janela Janela ondas Transladada

Nov 98 I.T., Aveiro 5 Transformada contínua com ôndula A janela já oscila (onda)

Nov 98 I.T., Aveiro 6 Transformada contínua com ôndula A onda é expandida ou contraída e transladada

Nov 98 I.T., Aveiro 7 Transformada contínua com ôndula

Nov 98 I.T., Aveiro 8 Transformada contínua com ôndula Quando a aumenta, a função alarga Quando a diminui, a função estreita

Nov 98 I.T., Aveiro 9 Plano tempo-frequência Transformada de Fourier com janela Transformada contínua com ôndula

Nov 98 I.T., Aveiro 10 Transformada contínua com ôndula Ser bem localizada (pequena) Satisfazer condição de admissibilidade A função deve : ( onda )

Nov 98 I.T., Aveiro 11 Transformada contínua com ôndula Fórmula de inversão Reconstrução Decomposição

Nov 98 I.T., Aveiro 12 Transformada discreta. Ôndulas ortogonais Transformada contínua é altamente redundante. Restringir valores dos parâmetros:

Nov 98 I.T., Aveiro 13 Transformada discreta. Ôndulas ortogonais Existem tais bases? –Base de Haar (1910) –Strömberg –Meyer –Battle; Lemarié

Nov 98 I.T., Aveiro 14 Análise de Resolução Múltipla (ARM)

Nov 98 I.T., Aveiro 15 Análise de Resolução Múltipla (ARM) Exemplo: (ARM de Haar)

Nov 98 I.T., Aveiro 16 Análise de Resolução Múltipla (ARM) Equação de dilatação ou de dupla escala

Nov 98 I.T., Aveiro 17 Análise de Resolução Múltipla (ARM) Dada como surge a base o. n. de ôndulas? Espaços de detalhe

Nov 98 I.T., Aveiro 18 Análise de Resolução Múltipla (ARM) ôndula ortogonal

Nov 98 I.T., Aveiro 19 Análise de Resolução Múltipla (ARM) Equação de ôndula

Nov 98 I.T., Aveiro 20 Análise de Resolução Múltipla (ARM) ARM de Haar

Nov 98 I.T., Aveiro 21 Transformadas Rápidas com Ôndulas

Nov 98 I.T., Aveiro 22 Transformadas Rápidas com Ôndulas Da equação de dilatação obtém-se facilmente Da equação de ôndula vem

Nov 98 I.T., Aveiro 23 Transformadas Rápidas com Ôndulas Cálculo recursivo das sequências Input Output

Nov 98 I.T., Aveiro 24 Pode ser invertida facilmente Output Input Transformadas Rápidas com Ôndulas

Nov 98 I.T., Aveiro 25 Transformdas Rápidas com Ôndulas Utilizam apenas o filtro Fáceis de implementar (cálculo recursivo) Sequências e filtros finitos (truncados) –Várias formas de lidar com as fronteiras (periodização, reflexão,...; ôndulas no intervalo) Algoritmos rápidos: número de operações O(N) Generalizam-se facilmente para várias variáveis

Nov 98 I.T., Aveiro 26 Ôndulas e Bancos de Filtros

Nov 98 I.T., Aveiro 27 Ôndulas e Bancos de Filtros DecomposiçãoReconstrução Esquema de filtragem de duas bandas com capacidade de reconstrução perfeita

Nov 98 I.T., Aveiro 28 Ôndulas e Bancos de Filtros No espaço de Fourier No espaço físico Função de transferência

Nov 98 I.T., Aveiro 29 Ôndulas e Bancos de Filtros Filtro passa-baixo No espaço físico No espaço de Fourier Filtro passa-alto

Nov 98 I.T., Aveiro 30 Ôndulas e Bancos de Filtros matriz unitária H e G par de filtros de quadratura conjugada (CQF)

Nov 98 I.T., Aveiro 31 Ôndulas e Bancos de Filtros ARM H filtro CQF ? Impor propriedades a escolhendo adequadamente o filtro? Importância, na prática, das propriedades de ?

Nov 98 I.T., Aveiro 32 Ôndulas e Bancos de Filtros H (  ) 2  periódica, regular função escala de ARM

Nov 98 I.T., Aveiro 33 Ôndulas e Bancos de Filtros Impor propriedades a  escolhendo o filtro {h k } de forma adequada? Exemplo : Famíla das Ôndulas de Daubechies –Suporte compacto número finito de h k ´s FIR. –Certo número de momentos nulos (máximo permitido pelo tamanho do suporte) –Regularidade aumentando linearmente com tamanho do suporte.

Nov 98 I.T., Aveiro 34 Ôndulas de Daubechies

Nov 98 I.T., Aveiro 35 Ôndulas e Bancos de Filtros Importância, na prática, das propriedades de  –Regularidade: importante na síntese (imagens, p. ex.). Erro “suave” é menos perceptível. Regularidade óptima? – Número de momentos nulos: Coeficientes associados a (com j grande) são quase nulos onde a função é suave. Há apenas necessidade de “reter” tais coeficientes onde a função é irregular. Importante em algoritmos de análise numérica (baseados em compressão de operadores) e em supressão de ruído.

Nov 98 I.T., Aveiro 36 Ôndulas e Bancos de Filtros –Localização na frequência: mais importante em sinal audio do que em processamento de imagem; “aliasing” é mais relevante no primeiro caso.

Nov 98 I.T., Aveiro 37 Generalizações Ôndulas de várias variáveis - várias abordagens. Ôndulas bi-ortogonais - filtro de síntese dual do filtro de análise. (Mais flexibilidade) Referenciais de ôndulas - redundância. (Importante, por exemplo, na redução do erro de reconstrução)

Nov 98 I.T., Aveiro 38 Generalizações “Wavelet-packets” - bancos de filtros com estrutura em árvore arbitrária; pavimentações mais gerais do plano tempo-frequência. Mais escolha ! Algoritmo da melhor base $$

Nov 98 I.T., Aveiro 39 Generalizações Transformadas trigonométricas locais - senos e co-senos definidos em intervalos finitos e “ligados” de forma suave. Multiwavelets -várias funções escala e ôndulas-mãe.

Nov 98 I.T., Aveiro 40 Referências I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets SIAM, Philadelphia, 1992 B. B. Hubbard, The World According to Wavelets Prentice-Hall, 1995

Nov 98 I.T., Aveiro 41 Referências A. Akansu, R. Haddad, Multiresolution Signal Decomposition Academic Press, 1993 S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing Academic Press, 1998

Nov 98 I.T., Aveiro 42 Referências G. Strang, T. Nguyen, Wavelets and Filter Banks Wellesley-Cambridge Press, 1996 M. Vetterli, J. Kovacevic, Wavelets and Subband Coding Prentice-Hall, 1995

Nov 98 I.T., Aveiro 43 Software Mathematica Wavelet ExplorerMathematica Wavelet Explorer, Wolfram Research Wavelet Toolbox for use with MATLABWavelet Toolbox for use with MATLAB, Toolbox do MATLAB WaveLabWaveLab : (para usar com MATLAB) –ftp://playfair.stanford.edu/pub/wavelab Ver também: