Um passeio pelos números primos Numeros primos Um passeio pelos números primos Czczczczc Prof. Enio Lima UECE-FECLI

O que é mesmo um número primo???? Numeros primos O que é mesmo um número primo???? Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p. Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc... Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito composto.

Possível origem O número 1 era chamado de unidade (monad, do grego). Demais números : 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós, do grego. 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi arithmói. Deuterói arithmói: números que podem ser gerados pelo produto protoi arithmói: 4,6,24,66,etc.. Pitágoras de Samos (580-497 a.C) Profeta, místico, filósofo, astrônomo e matemático grego.

Livros influentes Os Elementos de Euclides cerca. 300 AC. A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC.

Livros influentes O De Institutione Arithmetica, do romano Boécio cerca de 500 dC. O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de 1200 dC.

O Teorema Fundamental da Aritmética “Todo inteiro positivo composto se fatora de maneira única como um produto de números primos.” Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

Os números primos são finitos? “Há uma infinidade de números primos” Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.)

A demonstração de Hermite Prova: para cada número natural n>1 defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número natural (para cada n natural) , então existe um primo p fator de x(n). Esse primo p não pode dividir um número menor do que ou igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí, dividiria x(n)-n!=1 Conclusão: dado qualquer natural n>1, sempre existe um primo p > n, ou seja : Há uma infinidade de números primos! Charles Hermite (1822 —1901) foi um matemático francês.

Descobrindo primos – O crivo de Eratóstenes (276 a.C. — 194 a.C.), foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego

Sobre a distribuição dos primos Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e 120 2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e  10 000000   9 999 901          9 999 907            9 999 929          9 999 931   9 999 937          9 999 943            9 999 971          9 999 973   9 999 991 3) Mas já entre os cem números seguintes , 10 000000  até 10 000 100, existem apenas 2:    10 000 019     e     10 000 079

Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemão Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) foi um matemático francês

Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos Numeros primos Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos Charles Poussin (1866-1962 ) matemático belga Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático francês.

Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-), independentemente , demonstraram o Teorema dos Números Primos sem apelo à teoria analítica dos números.

Sobre a distribuição dos primos alguns valores x pi(x) x/log x 1000 168 145 10000 1229 1086 100000 9592 8686 1000000 78498 72382 10000000 664579 620420 100000000 5761455 5428681

Um pouco sobre os números de: Pierre Fermat (1601 – 1665) matemático e cientista francês.

1.238.926 .361.552.897 × 93.461.639 .715.357.977 .769.163.558 .199.606.896 .584.051.237 .541.638.188 .580.280.321

Um pouco sobre os primos de: Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um matemático, padre ,teólogo e filósofo francês.

Números perfeitos e os primos de Mersenne Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios. Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6. A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se 2n-1 é um número primo então 2n-1 . 2n-1 é um número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma. Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum.

Alguns Primos de Mersenne 219-1= 524287 2⁶¹-1= 2305843009213693951 2⁸⁹-1= 618970019642690137449562111 2¹⁰⁷-1= 162259276829213363391578 010288127 2⁵²¹-1= 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812 574028291115057151

2⁶⁰⁷-1= 531 137992816 767098689 588206552 468627329 593117727031923199444138200 403559860 852242739 162502265 229285668 889329486 246501015 346579337 652707239 409519978 766587351 943831270 835393219 031728127

10 maiores primos de Mersenne já encontrados até 2009

Primo de Mersenne Dígitos 1) 243112609-1 12.978.189 47(2008) 2) 242643801-1 12.837.064 46(2009) 3) 237156667-1 11.185272 45(2008) 4) 232582657-1 9.808.358 44(2006) 5) 230402457-1 9.152.052 43(2005) 6) 225964951-1 7.816.230 42(2005) 7) 224036583-1 7.235.733 41(2004) 8) 220996011-1 6.320.430 40(2003) 9) 213466917-1 4.053.946 39(2001) 10) 26972593-1 2.098.960 38(2007)

Os primos de: Sophie Germain (1776 —1831) matemática francesa Um primo p é dito ser um primo de Sophie Germain quando p e 2p+1 são primos. Exemplos: 1) 3 é um deles pois: 3 e 2 .3+1=7 são primos. 2) 5 é um deles pois: 5 e 2 .5+1=11 são primos

05 maiores primos de Sophie Germain já encontrados até 2009 Dígitos 1) 48047305725·2172403-1 51.910 47(2007) 2) 137211941292195·2171960-1 51.780 46(2006) 3) 33759183·2123458-1 37.173 45(2009) 4) 7068555·2121301-1 36.523 44(2005) 5) 2540041185·2114729-1 34.547 43(2003)

Alguns testes de primalidade

Uma sequência curiosa!!!! 91 é composto 9901 é primo 999001 é composto

Primos Curiosos! 1) Um primo com 1240 dígitos 2000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000003000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0050000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000070 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000110000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0130000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000017

2) 2⋅10²⁷-1= 1999999999999999999999999999. 3) 1111222233334444555566667777888899967 888899967. 4) 311311311311311311311311311311311 311311311311311311311311311311 311311311311311311311311311311 3113113113.

Alguns problemas em aberto sobre Primos Numeros primos Alguns problemas em aberto sobre Primos

Uma conexão entre números primos e o Círculo Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341 Todos eles são da forma 4k+1, vejam:

Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros, vejam:

Um lindo problema! Numeros primos

Demonstração:

c.q.d

Relembrem!!! Conclusão:

Numeros primos

é irracional!!

Vendo geometricamente:

Conclusões:

Até a próxima oportunidade! OBRIGADO!! Até a próxima oportunidade!