Números Negativos 7ºAno Escola EBI de INSUA

Operações com números inteiros relativos Os Números Negativos Operações com números inteiros relativos

Origem e Evolução dos Números Os números nasceram da necessidade de contar coisas, sendo os símbolos numéricos usados para registar resultados de contagens. Podemos imaginar o homem primitivo a contar as cabras do seu rebanho e a registá-las através de marcações em ossos ou em troncos de árvores. Desta forma se controlavam pequenas quantidades. 25 de março de 2017

Origem e Evolução dos Números (cont.) Com a evolução das sociedades, tornou-se necessário representar números maiores. Por exemplo: Significava 1 Significava 5 Significava 20 (20 dedos de uma pessoa) 25 de março de 2017

Origem e Evolução dos Números (cont.) No sistema de numeração actual, usamos apenas 10 símbolos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Estes símbolos (algarismos) ocupam as posições adequadas para formar os diferentes números. Com apenas 10 símbolos pode escrever-se qualquer número, por maior que seja, e mesmo os grandes números se escrevem com poucos algarismos. 25 de março de 2017

Os Números Negativos os negativos. Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar. Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio ? Garagem Lavagem Automática Aperceber-te-ás, então, que os números naturais (1,2,...) não são suficientes para representar os movimentos do elevador, sendo necessário recorrer a outros números - os negativos. 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ... Cabeleireiro ? 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ? 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Qual te parece ser o andar do ginásio? Restaurante 1 Boutique Ginásio ? -1 Garagem ? Lavagem Automática ? 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 E o andar da garagem? Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 Garagem -2 ? Lavagem Automática ? 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 E o da estação das lavagens automáticas? Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 Garagem -2 Lavagem Automática -3 ? 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Serão os números naturais os mais adequados para os andares subterrâneos? Apartamento 4 Escritórios 3 Algumas situações não se podem exprimir somente com os números naturais. A partir de agora utilizaremos uns novos números que nos resolvem o problema: Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique Ginásio -1 -1 os números negativos Garagem -2 -2 Lavagem Automática -3 -3 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Chamamos números negativos a todos os que estão abaixo de zero. Os números negativos escrevem-se com o símbolo menos antes. Assim os diferenciamos dos positivos. ..., -5, -4, -3, -2, -1 Quando um número não leva sinal nenhum antes, entendemos que é positivo: 5=+5 +16=16 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) Quando se efectuam operações com números negativos, estes escrevem-se entre parêntesis: 8 + (-3) O número positivo 8 a somar com o número negativo –3. (-5) x (-2) O número negativo –5 a multiplicar com o número negativo –2. Mais adiante aprenderás a obter o resultado destas operações. 25 de março de 2017

Os Números Negativos (cont.) NOTA Os números que se escrevem com o sinal + são os números positivos. Exemplos: +3; +2; +1,99; ... Os números que se escrevem com o sinal - são os números negativos. Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ... É costume chamar números relativos aos números positivos, aos números negativos e ainda ao zero. Representa-se por Z o conjunto dos números inteiros relativos. 25 de março de 2017

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos 1. Do andar em que se encontra o elevador do edifício, posso subir a pisos superiores ou descer a outros pisos inferiores: Subo cinco andares: +5 Desço quatro andares: - 4 25 de março de 2017

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos 2. O saldo de uma conta do banco aumenta (+) com os depósitos e diminui (-) com os levantamentos. A Carminho tem vinte euros: + € 20 O Ernesto deve três euros: - € 3 25 de março de 2017

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos 3. O termómetro pode marcar uma temperatura acima de zero (+8) ou abaixo de zero (-5). 25 de março de 2017

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos 4. O número de pessoas que viajam num autocarro varia em cada paragem: Sobem 10 pessoas: + 10 pessoas Descem 14 pessoas: - 14 pessoas 25 de março de 2017

Representação na Recta Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos. e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem. Consideremos uma recta r Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita). Desta maneira obtemos um eixo. - O 1 + r 25 de março de 2017

Representação na Recta Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O. +5 A + - O +1 Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O. -3 B + - O +1 25 de março de 2017

Representação na Recta O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto. +5 A + - O +1 -3 B A abcissa de B é -3 A abcissa de A é +5 A origem tem abcissa zero. Nota: O Eixo é uma recta orientada . 25 de março de 2017

Ordenação Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados. Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar. 2 3 4 5 1 -1 -2 -3 Cada vez maior 25 de março de 2017

Ordenação Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos: + 5 > + 2 Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever: + 2 < + 5 Isto é, a > b é o mesmo que b < a 2 3 4 5 1 -1 -2 -3 25 de março de 2017

Ordenação Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes: Qualquer número positivo é maior do que zero. + 0,012 > 0 Zero é maior que qualquer número negativo. 0 > - 35 Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo. +1 > - 35 + 0,5 > - 100 ; 25 de março de 2017

Valor Absoluto (ou Módulo) Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2. 2 3 A 4 5 1 -1 -2 B -3 2 3 A distância do ponto A à origem é 3. A distância do ponto B à origem é 2. A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo. 25 de março de 2017

Valor Absoluto (ou Módulo) Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos: +3 = 3 Portanto, temos ainda que -2 = 2 Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número. Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero: 0 = 0 25 de março de 2017

Valor Absoluto (ou Módulo) NOTA O valor absoluto de um número é: O próprio número, se ele for positivo ou zero. +3 = 3 0 = 0 O seu simétrico, se ele for negativo. -2 = 2 25 de março de 2017

Dizemos então que – 4 e 4 são Números Simétricos Relativamente à origem da recta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja, - 4 = 4 Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos. 25 de março de 2017

Números Simétricos Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto. Exemplos de números simétricos: - 0,3 = 0,3 - 0,3 e 0,3 porque 1 e - 1 porque 1 = -1 Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero: 0 = 0 25 de março de 2017

Números Simétricos Observação 1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem). Exemplos: + 0,5 > + 0,1 + 100 > + 40 2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem). Exemplos: - 3 > - 50 - 0,01 > - 10 25 de março de 2017

Números Simétricos Propriedade O simétrico do simétrico de um número é o próprio número. Exemplos: - (- 3) = + 3 - (- a) = + a = a Esta propriedade permite simplificar expressões como: - (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8 - (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8 25 de março de 2017

Não é obrigatório escrever o sinal + Números Simétricos Simplificação da escrita Na recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de +1,+2,+3,... 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Também: + (+ 8) = + 8 + (- 8) = - 8 Não é obrigatório escrever o sinal + 25 de março de 2017

Números Simétricos Concluindo Valor absoluto da abcissa de um ponto é a distância à origem. Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários são números simétricos. - (- a) = + a = a ; - (+a) = - a + (- a) = - a ; + (+a) = + a = a 25 de março de 2017

Números Simétricos Nota Na recta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor. 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -2 é maior que - 4 - 2 > - 4 2 é maior que - 1 ou - 1 é menor que 2 2 > - 1 - 1 < 2 > maior < menor 25 de março de 2017

Números Inteiros Relativos Na Natureza encontramos 1 árvore, 2 árvores, 3 árvores, ... Os números 1,2,3,... são os números naturais. O conjunto dos números naturais representa-se pela letra maiúscula N com um traço, para distinguir da letra normal. IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...} INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0} é o conjunto dos números inteiros não negativos. 25 de março de 2017

Números Inteiros Relativos Como já sabes, existem números negativos, simétricos dos números naturais. Os números naturais, os seus simétricos e o zero, formam um novo conjunto: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros relativos. IN C INo C Z IN INo Z INo C Z Significa “está contido” Significa “contém” 25 de março de 2017

Significa não pertence - 4 Z 1.Exemplo -1 IN O símbolo Significa não pertence O símbolo Significa pertence 2.Os símbolos (intersecção) e (reunião) INo Z IN = IN ={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos} onde, ; ={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos} 25 de março de 2017

Números Inteiros Relativos Exercícios: Usando os símbolos ou completa: c) 4 Z; e) 0 INo ; a) -1 IN ; b) -3 Z ; f) 0 Z. d) -3 IN ; C 2.2 Complete usando os símbolos C ou : a) ; Z C b) ; C 25 de março de 2017