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3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes. Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento. Em seu método, o erro tipo I é no máximo  para qualquer das comparações possíveis. Suponha um conjunto de m contrastes das médias de tratamento. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 2

3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes. O procedimento de Scheffé também pode ser usado para construir intervalos de confiança para todos os contrastes possíveis entre as médias de tratamento. intervalos simultâneos tal que o nível de confiança conjunto é pelo menos 1-. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 3

Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery Exemplo Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 4

3.5.7 Comparação de pares de médias de tratamento Nesse caso poderíamos fazer e usar Scheffé. Porém, nesse contexto, o método de Scheffé não é o mais sensível para tais comparações. Existem vários métodos para esse tipo de comparação. Veremos os dois mais populares. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 5

Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery Teste de Tukey Suponha uma ANOVA na qual a hipótese nula de médias iguais foi rejeitada e que deseja-se testar as hipóteses Tukey (1953) propôs um procedimento para o qual o nível de significância global é exatamente , quando os tamanhos amostrais são iguais e, no máximo , quando os tamanhos são desiguais. Também é possível usar esse método para construir intervalos de confiança para as diferenças entre médias. Os intervalos têm nível de confiança conjunto de 100(1- )% no caso balanceado e pelo menos 100(1- )% no caso não balanceado. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 6

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada Valores da distribuição da estatística q foram tabulados Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita a hipótese nula se Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 7

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias Equivalentemente, podemos construir intervalos de confiança de 100(1-)% para todos os pares dados por Quando as amostras são não balanceadas Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 8

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias No R, há as função TukeyHSD e plot(TukeyHSD). Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = dados$y ~ dados$rf) $`dados$rf` diff lwr upr p adj p180-p160 36.2 3.145624 69.25438 0.0294279 p200-p160 74.2 41.145624 107.25438 0.0000455 p220-p160 155.8 122.745624 188.85438 0.0000000 p200-p180 38.0 4.945624 71.05438 0.0215995 p220-p180 119.6 86.545624 152.65438 0.0000001 p220-p200 81.6 48.545624 114.65438 0.0000146 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 9

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Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery Comparação de médias É possível obter um teste F global da ANOVA significativo e, ao comparar todos os pares de médias, concluirmos que as diferenças não são significativas. Essa situação pode ocorrer porque o teste F está considerando simultaneamente todos os contrastes possíveis envolvendo as médias de tratamento e não somente os pares. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11

Método de Fisher da menor diferença significante (mds) O método de Fisher da menor diferença significante para comparar todos os pares de média controla a taxa de erro  para cada comparação individual, mas não a taxa de erro global do experimento. Esse procedimento usa a estatística t para testar a hipótese H0 : i = j . Supondo uma alternativa bilateral uma região crítica Para um teste de nível  é: Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 12

Método de Fisher da menor diferença significativa (mds) A quantidade é chamada menor diferença significativa. Se o experimento é balanceado Para usar um procedimento de Fisher, simplesmente comparamos a diferença observada em cada par com a correspondente MDS. O risco global  pode ser consideravelmente inflacionado por esse método. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 13

Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery Que método usar? Não existe uma resposta e muitos estatísticos discordam sobre a utilidade dos vários procedimentos. Carmer e Swanson (1973) realizaram uym estudo de simulação de Monte Carlo de vários procedimentos de comparações múltiplas, incluindo procedimentos que não foram apresentados aqui. O método MDS é efetivo para detectar diferenças verdadeiras se aplicado somente após o teste F da ANOVA ter resultado significante a 5%, apesar do método não controlar a taxa de erro global. Muitos preferem o método de Tukey por controlar a taxa de erro global. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 14

Comparações de médias de tratamento com um controle Se um dos tratamentos é um controle e se está interessado em comparar cada um dos outros a-1 tratamentos com o controle, apenas a-1 comparações são feitas. Um procedimento para fazer essas comparações foi desenvolvido por Dunnett (1964). Suponha que entre os tratamentos, o a-ésimo seja o controle e que O procedimento é uma modificação do teste t usual. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 15

Procedimento de Dunnett Para cada hipótese calcula-se a diferença em que a constante d é obtida por meio de tabela apropriada. Aqui,  é o nível conjunto dos a-1 testes. Quando comparamos tratamentos com um controle, uma boa estratégia é usar mais observações no controle do que nos demais. A razão na/n de ve ser aproximadamente igual à raiz quadrada de a. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 16

3.7 Sample Size Determination Text, Section 3.7, pg. 101 FAQ in designed experiments Answer depends on lots of things; including what type of experiment is being contemplated, how it will be conducted, resources, and desired sensitivity Sensitivity refers to the difference in means that the experimenter wishes to detect Generally, increasing the number of replications increases the sensitivity or it makes it easier to detect small differences in means Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Sample Size Determination Fixed Effects Case Can choose the sample size to detect a specific difference in means and achieve desired values of type I and type II errors Type I error – reject H0 when it is true ( ) Type II error – fail to reject H0 when it is false ( ) Power = 1 - Operating characteristic curves plot against a parameter where Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Sample Size Determination Fixed Effects Case---use of OC Curves The OC curves for the fixed effects model are in the Appendix, Table V A very common way to use these charts is to define a difference in two means D of interest, then the minimum value of is Typically work in term of the ratio of and try values of n until the desired power is achieved Most statistics software packages will perform power and sample size calculations – see page 103 There are some other methods discussed in the text Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Power and sample size calculations from Minitab (Page 103) Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

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Sugestão de exercícios do capítulo 3 1,2,4,6,8 a 11, 16, 18 a 20