Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR Análise Combinatória Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR

Introdução: Dados dois conjuntos A = {a1, a2, . . . , am} e B = {b1, b2, b3, . . . , bn}, o total de pares distintos (ai, bj) que podemos formar com os elementos dos dois conjuntos é igual a: n .m b1 b1 b1 b2 b2 b2 b3 b3 . . . . . . . . . . . . . b3 a1 a2 am b n b n b n . . . . . . . . . n pares + n pares + + n pares n + n + n + . . . + n (m vezes) = n.m

Exemplos 1) Para revestir o piso e a parede de um banheiro um arquiteto pode escolher entre 6 tipos de pisos e 9 tipos de azulejos. Se um tipo de piso pode ser usado com qualquer tipo de azulejo, de quantas maneiras o arquiteto pode combinar o par para revestir o banheiro? Piso = {P1, P2, P3, . . . , P6} nP = 6 Azulejos = {A1, A2, A3, . . . , A9} nA = 9 npares= 69 npares= 54

Se você optar por não tomar o suco: no de refeições = 10 2) Se você vai a um restaurante que oferece 10 pratos diferentes e 6 sucos diferentes, de quantas maneiras você pode fazer uma refeição se você pode tomar ou não suco? Pratos = {P1, P2, P3, . . . , P10} nP = 10 Sucos = {N1, N2, N3, . . . , N6} nS = 6 Se você optar por não tomar o suco: no de refeições = 10 Se você optar por tomar o suco: no de refeições = 106 = 60 Total = 10 + 60 = 70 ou

Tipos de agrupamentos: Arranjos: Importa a ordem dos elementos Combinações:Não importa a ordem dos elementos Podemos analisar a partir do PFC Permutação:Importa a ordem dos elementos

Como não é possível repetir algarismos, temos: Exemplos Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos distintos podem ser formados? Como não é possível repetir algarismos, temos: 6  5 = 30 números Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos podem ser formados? Agora pode repetir algarismos: 6 6 = 36 números São exemplos de arranjos, o primeiro sem repetição (simples) e o segundo com repetição

Outro exemplo: A frente de um prédio tem 10 portas de entrada Outro exemplo: A frente de um prédio tem 10 portas de entrada. Se uma pessoa, ao entrar no prédio, nunca usa a mesma porta para sair, de quantas maneiras distintas ela pode entrar e sair do prédio? M a Entrar Sair 10 x 9 = 90

Se a pessoa entrar e sair por qualquer porta: M a 10 x 10 = 100

Princípio Fundamental da Contagem Total = mnp. . . t Considerando os conjuntos: O total de agrupamentos possíveis do tipo (ai, bj, ck, . . . , xt} A = {a1, a2, a3, . . . , am} B = {b1, b2, b3, . . . , bn} C = {c1, c2, c3, . . . , cp} Total = mnp. . . t ..................................... X = {x1, x2, x3, . . . , xu}

Exemplo De quantas maneiras diferentes uma moça poderá escolher uma saia, uma blusa, um par de meias e um par de sapatos se ela tem 6 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 5 pares de meias? Saia Blusa Sapatos Meias 6 x 4 x 2 x 5 = 240

Se for possível repetir elementos no agrupamento formado, teremos: p casas . . . . . . . . . . . . . . n  n  n   n Total = nnn . . .n = np

Exemplo Calcular quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quem está aqui! Não pode estar aqui! 4 casas 6 x 5 x 4 x 3 = 360

E se fosse possível repetir algarismos? Quem está aqui! Pode estar aqui! 4 casas 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 5 casas 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720 Calcular quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 casas 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 6 fatorial = 6! = 6x5x4x3x2x1

Arranjos ou Arranjos Simples Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas e vamos escolher 3 delas para formarmos uma diretoria. A primeira escolhida será presidente, a segunda vice e a terceira secretária. De quantas formas isso poderá ser feito? Pessoas = {a, b, c, d, e} ade abc abd abe acd ace bcd bce bde cde aed acb adb aeb adc aec bdc bec bed ced bac bad bae cad cae dae cbd cbe dbe dce bea cda cea dea bca bda cdb ceb deb dec cab dab eab dac eac ead dbc ebc ebd ecd cba dba eba dca eca eda dcb ecb edb edc

abe acd ace ade abc abd bcd bce bde cde acb adb aeb adc aec aed bdc bec bed ced bae cad cae dae bac bad cbd cbe dbe dce bea cda cea dea bca bda cdb ceb deb dec ead cab dab eab dac eac dbc ebc ebd ecd cba dba eba dca eca eda dcb ecb edb edc abc  abd Porque tem elementos diferentes (c  d) Isso é chamado de diferença na natureza dos elementos. abc  acb Porque os elementos ocupam posições diferentes; b é vice em abc e secretária em acb e c é exatamente o contrário. Isso é chamado de diferença na ordem dos elementos.

Arranjos são agrupamentos que diferem entre si na ordem ou na natureza de seus elementos. No caso anterior, como tiramos de um conjunto de 5 elementos 3 deles para compor uma diretoria, temos “Arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3.” Quantidade de elementos agrupados. A = 60 Logo, para reconhecer se os agrupamentos formados são arranjos ou não, é só escrever um deles e mudar a ordem de elementos distintos que o compõe. Se o novo agrupamento obtido for diferente do anterior, temos ARRANJOS, se o agrupamento obtido for igual ao escrito, não temos ARRANJOS. 5,3 Total de possíveis diretorias a serem formadas. Quantidade de elementos do conjunto dado. Simboliza “Arranjo”.

Vamos considerar alguns exemplos Quantos números pares formados por 4 algarismos distintos podem ser feitos usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? O conjunto do qual tiraremos os elementos tem 7 termos(n = 7) Usaremos 4 deles, ou seja teremos 4 casas para serem preenchidas. Par 6 5 4 3 6x5x4x3 = 360 Ou pela fórmula do Arranjo: Assim: 120.3 = 360 Devemos sempre preencher a casa condicionada

Vocês já imaginaram quantos veículos auto-motores tem no Brasil? Considerando que as placas de um carro tem 3 letras e 4 algarismos e que as letras são retiradas de um alfabeto que tem 26 letras distintas, determinar quantas placas existem formadas por letras distintas e algarismos distintos. 26 25 24 10 9 8 7 26x25x24x10x9x8x7 = 78.624.000 Se for possível repetir letras ou algarismos será possível emplacar 175.760.000 veículos auto-motores. Vocês já imaginaram quantos veículos auto-motores tem no Brasil?

03) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quantos números com algarismos distintos existem de 1 até 1000? De 1 até 1000 temos números com 1 algarismo, ou 2 ou 3. Com 1 algarismo: 9 Com 2 algarismo: 9 x 8 = 72 Com 3 algarismo: 9 x 8 x 7 = 504 Total = 9 + 72 + 504 = 585

04. Uma pessoa esqueceu sua senha bancária de 6 dígitos, porém, lembra que os dois primeiros dígitos são letras distintas e vogais e os quatro últimos são algarismos pares. Quantas tentativas ela terá que fazer, no máximo, se for possível, para acertar a senha? 5 x 4 x 5 x 5 x 5 x 5 Letras Algarismos Total = 12500

Permutações Simples Permutações são agrupamentos feitos com todos os elementos de um conjunto dado sendo que cada agrupamento difere dos demais apenas pela ordem de seus elementos. Dado um conjunto com n elementos vamos fazer todos os arranjos possíveis com n elementos. n casas . . . . . . . . . . . . n (n – 1) (n – 2) 3 2 1

Na figura temos 4 meninos e uma menina prontos para entrarem no clubinho dos meninos. Logicamente é um dia atípico, visto que a entrada de meninas é proibida, principalmente sendo a Mônica. Mas vão entrar. Se Jeremias é um perfeito cavalheiro e só entra após a Mônica, de quantas maneiras diferentes os cinco podem entrar no clubinho. (Revista Mônica No 186 – Editora Globo)

Calcular a quantidade de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra BRASIL. Brasil tem 6 letras diferentes e todas serão usadas 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P6 = 6! = 720 De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem fazer uma fila indiana se duas delas (A e B) pretendem ficar uma ao lado da outra? Consideramos as duas pessoas (A e B) como uma só. Pode ser B e A. 2 x 5 4 3 2 1 = 5! = 240

Total: 89 menores. Lugar ocupado 90o 05. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 8, qual é o lugar ocupado pelo número 54831? Vamos procurar quantos são os números menores do que 54831 1 P4 = 4! = 24 3 P4 = 4! = 24 4 P4 = 4! = 24 Total: 89 menores. 5 1 P3 = 3! = 6 5 3 P3 = 3! = 6 5 4 1 Lugar ocupado 90o P2 = 2! = 2 5 4 3 P2 = 2! = 2 5 4 8 1 P1 = 1! = 1

Observações O preenchimento das casas, apresentado nos exemplos anteriores, é um bom método. Devemos lembrar que o seu uso implica em obter agrupamentos diferentes quando mudamos a ordem dos elementos do agrupamento. Como vimos: 0! = 1, 1! = 1 Lembremos como simplificar frações envolvendo fatorial 12! 12111098! = = 11880 8! 8! Desenvolvemos o maior fatorial até chegar no menor e simplificamos.

Combinações Simples ou Combinações Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas, vamos escolher 3 delas para formarmos uma comissão. Pessoas = {a, b, c, d, e} abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde Se mudarmos os elementos de lugar nos agrupamentos, os mesmos não mudam. A comissão abc é a mesma acb. abc = bac A ordem não muda o agrupamento. abc  abd Os agrupamentos são diferentes na natureza dos elementos.

“Número de casas” fatorial Como calcular o total de combinações simples? Vamos considerar o exemplo de cálculo de arranjo de 5 tomados 3 a 3. abe acd ace ade abc abd bcd bce bde cde acb adb aeb adc aec aed bdc bec bed ced dae bac bad bae cad cae cbd cbe dbe dce bea cda cea dea bca bda cdb ceb deb dec cab dab eab dac eac ead dbc ebc ebd ecd cba dba eba dca eca eda dcb ecb edb edc Vamos observar que de cada coluna aproveitamos apenas uma combinação. 6 = 3! “Número de casas” fatorial

Combinações são agrupamentos que diferem entre si apenas na natureza de seus elementos. Na formação das comissões tínhamos 5 elementos no conjunto e escolhemos apenas 3. 5 x 4 x 3 5.4.3 = = 10 3! 3.2.1 Quantidade de elementos agrupados. C 5! Total de possíveis comissões a serem formadas. 5.4.3! = = = 10 5,3 2!3! (5 – 3)!.3! Quantidade de elementos do conjunto dado.

06. Um químico possui 10 tipos de substâncias 06. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem misturas explosivas. Trocando as duas incompatíveis!!! Não usando!!! Não usando uma e usando a outra!!! Perigo 6 serão misturadas 28 + 56 + 56 = 140

Permutação com repetição Para calcular a permutação de n elementos com repetição de um deles  vezes, outro vezes, outro  vezes e assim sucessivamente, até um  vezes tem-se a fórmula: Partindo do exemplo: calcular o total de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PIRACICABA. A palavra tem 10 letras. Se todas fossem diferentes a quantidade de anagramas seria igual a 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800 A letra A aparece 3 vezes. Mudando o A de lugar com ele mesmo, obtém-se 6 palavras (3!) das quais aproveita-se uma. A letra I aparece 2 vezes, logo, mudando de lugar o I com ele obtém-se 2 palavras (2!) e aproveita-se apenas uma, o mesmo ocorre (2) com a letra C. 10! 3.628.800 = = = 151.200 3! 2! 2! 6.2.2

De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 9 cartas distintas de um baralho em 3 montinhos distintos? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 x x = 280 3! Mudando um grupo de lugar com outro não acarreta mudança na distribuição.

Pn’ = (n – 1)! Permutação Circular De quantas maneiras diferentes n pessoas podem se colocar em uma fila circular? Pn’ = (n – 1)!

Arranjos Completos 3 Letras 4 Algarismos Tratando-se de arranjos completos podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos. Exemplo: Não existe restrição para numerar uma placa de veículos auto motores. A placa é formada por 3letras de um alfabeto de 26 letras e quatro algarismos escolhidos de zero a nove (10 algarismos). 3 Letras 4 Algarismos 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 Placas

Combinações Completas Tratando-se de combinações completas podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos. As Combinações Completas são pouco usadas nos diversos problemas que temos visto ao longo dos nossos estudos. Ex.: De quantas maneira podemos guardar 7 bombons em uma caixa, sabendo-se que dispomos de 4 sabores diferentes?