A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a. C. e 125 a. C Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, um matemático que construiu a primeira tabela trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o desenvolvimento da Astronomia, pois facilitava o cálculo de distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o título de PAI DA TRIGONOMETRIA.

Mais tarde, no primeiro século da era cristã, Ptolomeu da Alexandria escreveu uma coleção de livros conhecida como Almajesto, que significa “o maior”. Nela aparece uma tabela trigonométrica mais completa que a de Hiparco. Foram muito importantes as contribuições de Ptolomeu para a Trigonometria estudada nos dias atuais.

Por que usar a Trigonometria?

* Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. * Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. * Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

ASTROLÁBIO TEODOLITO ONTEM HOJE Um dos mais antigos instrumentos científicos, que teria surgido no século III a.C. A sua invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco. Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao horizonte.

USANDO ÂNGULOS PARA MEDIR ALTURAS Com a ajuda de um transferidor e de um canudinho de refrigerante podemos medir o ângulo necessário para calcular alturas como a de um prédio, de uma árvore ou uma torre. Esse ângulo é chamado ÂNGULO DE ELEVAÇÃO.

Propriedades do Triângulo Retângulo: 1-Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2-Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

3-Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa.

altura

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO COSSENO TANGENTE

SENO  cateto oposto hipotenusa cateto oposto sen  = hipotenusa

COSSENO hipotenusa cateto adjacente  cateto adjacente cos  =

TANGENTE cateto oposto cateto adjacente  cateto oposto tg  =

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo cateto oposto sen  = hipotenusa cateto adjacente cos  = hipotenusa cateto oposto tg  = cateto adjacente

Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa: Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º)

Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas é mais íngreme? Para situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo retângulos, é que buscaremos soluções a partir de agora.

Índice de Subida Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura, um percurso e um afastamento. C Ponto Altura Afastamento A 1m 2m B 2m 4m C 4m 8m B A 4m 2m 1m 2m 4m Índice de Subida = Altura . = 1 Afastamento 2 8m

Vejamos o problema Inicial: Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75 Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714 Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a segunda, pois 0,75 > 0,714

TABELA TRIGONOMÉTRICA Ângulo sen cos tg 1 0,017452 0,999848 0,017455 2 0,034899 0,999391 0,034921 3 0,052336 0,99863 0,052408 4 0,069756 0,997564 0,069927 5 0,087156 0,996195 0,087489 6 0,104528 0,994522 0,105104 7 0,121869 0,992546 0,122785 8 0,139173 0,990268 0,140541 9 0,156434 0,987688 0,158384 10 0,173648 0,984808 0,176327 11 0,190809 0,981627 0,19438 12 0,207912 0,978148 0,212557 13 0,224951 0,97437 0,230868 14 0,241922 0,970296 0,249328 15 0,258819 0,965926 0,267949 16 0,275637 0,961262 0,286745 17 0,292372 0,956305 0,305731 18 0,309017 0,951057 0,32492 19 0,325568 0,945519 0,344328

Ângulo sen cos tg 30 0,5 0,866025 0,57735 31 0,515038 0,857167 0,600861 32 0,529919 0,848048 0,624869 33 0,544639 0,838671 0,649408 34 0,559193 0,829038 0,674509 35 0,573576 0,819152 0,700208 36 0,587785 0,809017 0,726543 37 0,601815 0,798636 0,753554 38 0,615661 0,788011 0,781286 39 0,62932 0,777146 0,809784 40 0,642788 0,766044 0,8391 41 0,656059 0,75471 0,869287 42 0,669131 0,743145 0,900404 43 0,681998 0,731354 0,932515 44 0,694658 0,71934 0,965689 45 0,707107 1

A Idéia de Tangente O índice de subida, em uma rampa, chamaremos de Tangente em um Triângulo Retângulo. Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente

Exercício Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele estará e qual a distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?

Altura: tg 15º = CO CA Distância: cos 15º = CA H 0,966 = 2000 d x Altura: tg 15º = CO CA Distância: cos 15º = CA H 0,966 = 2000 d 0,268 = x 2000 d = 2070,39m x = 536m

Profº José Marcos RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS