Conceitos Gerais de Grandezas Físicas Prof. Hebert Monteiro

Introdução A Física é a base de toda engenharia e tecnologia. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma nave espacial ou mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes entender os princípios básicos da Física. Quando desejamos medir algo como por exemplo o comprimento de um objeto estamos medindo uma quantidade ou grandeza física. A medida de uma grandeza física é expressa pelo número de vezes que a unidade padrão, tomada como referência, está contida na grandeza a ser medida. O valor de uma medida é composto por duas partes inseparáveis: o número e a unidade padrão em que a grandeza foi expressa. Claramente, a informação de que uma pessoa saltou "15" de distância está incompleta, porque se foram 15 cm, 15 polegadas ou até 15 m, é completamente diferente.

Comprimento, tempo, massa, velocidade, aceleração, energia, trabalho e potência são algumas das grandezas físicas. Essas grandezas físicas podem ser medidas ou calculadas. Para dar o resultado de uma medida ou de um cálculo, temos sempre que adotar uma unidade. Antigamente existia um sistema que no caso de comprimento baseava-se em tamanho de um pé, de um dedo como o polegar e assim por diante. Como o comprimento de um pé, assim como o de um polegar variava de uma pessoa para outra foi preciso adotar padrões. Hoje, para facilitar os cálculos e a comparação entre os resultados de medidas quase todos os países do mundo adotam o Sistema Internacional (SI) de unidades. A partir de 1955, a Organização Internacional de Normalização (ISO) adotou um sistema de grandezas físicas baseado nas sete grandezas de base. Todas as outras grandezas derivadas são definidas a partir das grandezas de base.

Para medir a intensidade de cada grandeza criou-se os múltiplos e submúltiplos das unidades no SI com suas abreviações que podem ser conhecidas na próxima tabela.

Vamos tentar usar esses prefixos no caso da unidade metro: 103m = 1 quilômetro = 1 km 10-3m = 1 milímetro = 1 mm 10-6m = 1 micrometro = 1 µm 10-9m = 1 nanometro = 1 nm Porem, realizar medidas não é tão fácil assim, devido aos seus possíveis erros que podem ser causados por uma série de fatores que iremos estudar.

Teoria de Erros Se tentarmos efetuar uma série de medidas de uma mesma grandeza (tal como tempo de queda de um objeto de uma altura fixa) empregando os mesmos métodos, os mesmos instrumentos de medida, e nas mesmas condições experimentais, obtém-se resultados diferentes. Sendo assim, que número deverá ser assumido como medida da grandeza? Qual o valor que melhor a representará? As medidas podem ser de dois tipos, diretas e indiretas: Medida Direta: É a medida (leitura) obtida diretamente do instrumento de medida. Ex. altura (a leitura é feita diretamente na trena); tempo (leitura feita diretamente no cronômetro). Nesta categoria ainda temos: Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. Ex. Medida da largura de uma mesa. Basta medirmos uma única vez.

Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos várias vezes a mesma grandeza para minimizar a imprecisão na medida. Ex. tempo de queda de um corpo. Medimos várias vezes e tiramos à média. Medida Indireta: É quando uma medida é obtida com o auxílio de uma equação. Por exemplo: a determinação da velocidade final de um corpo preso por um fio em translação na direção vertical (aceleração constante).

Os erros ocorridos nas medidas podem ser classificados como: Erros Grosseiros: exclusivo da falta de prática do experimentador; erros de leitura. Erros Sistemáticos: ocorrem sempre num mesmo sentido. Podem ser devido ao experimentador, como atraso (ou antecipação) ao acionar um cronômetro; a um erro de paralaxe ou erro de calibração. Erros de Flutuação: decorrem de fatores imprevisíveis. A teoria de erros desconsidera os erros grosseiros e sistemáticos e estuda os erros de flutuação.

Uma única medida - incerteza O critério é o seguinte: Quando efetuamos uma única medida tomamos como incerteza da medida a metade da menor subdivisão. Exemplo: Efetuando uma medida de um comprimento - largura de uma mesa, por exemplo: 62cm utilizando uma trena com precisão de 1mm. A incerteza na medida será de: 0,5mm que corresponde à metade da menor divisão da trena. Tal que a representação ficará então l = (620,0±0,5)mm. O que significa que o valor medido está entre 619,5mm e 620,5mm, ou seja, possui uma incerteza de 0,5mm para mais ou para menos.

Para Várias Medidas: Necessitamos primeiramente tirar a média das medidas (que será o valor mais provável da medida) e calcular o desvio, assim vejamos como se calculam essas quantidades. Vamos representar uma medida da grandeza x por x1, uma segunda medida realizada nas mesmas condições de x1, da mesma grandeza x, será representada por x2, e sucessivamente para as demais medidas. Dessa forma, x1, x2, x3, x4, x5,...........,xn representam um conjunto de medidas realizadas, da mesma forma e com as mesmas condições, de uma dada grandeza x.

Caso se tenha diferentes medidas para uma mesma grandeza, como expressamos o valor dessa grandeza? Para isso, utilizamos o valor médio. Uma vez que todas as medidas foram obtidas da mesma forma (com as mesmas condições), o peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a média que utilizaremos será uma média aritmética simples: Uma vez conhecida a média, poderemos aplicar vários métodos para identificação, tratamento e resolução dos erros, tais como:

Desvio Absoluto O desvio da primeira medida, 1 x , em relação à média é dado pela diferença. . O desvio da segunda medida, 2 x , em relação à média é dado pela diferença , e de forma similar para o cálculo do desvio das demais medidas. Esse desvio nos dirá o quanto à respectiva medida estará distante do valor médio; se o desvio for negativo significa que a medida está abaixo da média; se o desvio for positivo significa que o valor da medida está acima da média. De uma forma geral, podemos escrever os desvios como:

Desvio Médio Desvio Relativo

Desvio Padrão

Incerteza ou desvio padrão da medida ou erro da média

Exemplo 01 Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm, de modo que os milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento). Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela ao lado mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. Tabela 1.1 n Ln (cm) (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5,7 5,8 5,5 5,6 5,9 0,0 + 0,1  0,2  0,1 + 0,2 N = 10 Ln = 57 cm n Ln = 1,0 cm

Calculando-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se que é o valor mais provável para o comprimento da barra. O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N de medidas. Define-se o desvio de uma medida do conjunto pela diferença entre o valor medido (Ln) e o valor médio. O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se extrair a incerteza que afeta o valor adotado ( valor médio ). Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios denominada desvio médio : Li = (Li  )

Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (= 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como:

Quantas casas depois da vírgula devemos utilizar quando efetuamos uma medida? Observe quantas casas de precisão o instrumento fornece. Por exemplo, o cronômetro possui duas casas de precisão. Assim,devemos representar o resultado com duas casas de precisão. No caso da trena, seria a metade da menor divisão, então 0,5mm, tal que o resultado da medida deve ser expresso com uma casa após a vírgula. Onde os arredondamentos de quaisquer resultados devem obedecer à regra dos algarismos significativos. O que são algarismos significativos? Algarismos significativos são os números que representam uma dada medida. Essa medida deverá conter os algarismos exatos (valores dos quais temos certeza da medida) mais o primeiro algarismo duvidoso ou incerto. Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso Portanto, nas dez medidas efetuadas na determinação do comprimento da barra, tem-se dois algarismos significativos

Operações com algarismos significativos Adição e Subtração Suponha que se deseje adicionar as seguintes quantidades: 2807,5 + 0,0648 + 83,645 + 525,35. Para que o resultado da adição contenha apenas algarismos significativos, você deverá, inicialmente, observar qual (ou quais) das parcelas possui o menor número de casas decimais. Em nosso caso, essa parcela é 2807,5, que possui apenas uma casa decimal. Esta parcela será mantida como está. As demais parcelas deverão ser modificadas, de modo a ficar com o mesmo número de casas decimais que a primeira escolhida, abandonando-se nelas tantos algarismos quantos forem necessários. Levando em conta a regra de arredondamento: número superior a cinco (inclusive) arredonda-se para cima e abaixo de 5 o último algarismo permanece invariável. Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620 Subtração - (12.441,2  7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9

Assim ficaremos com: 2807,5 permanece inalterada.................................... 2807,5 0,0648 passa a ser escrita ........................................ 0,1 83,645 passa a ser escrita ........................................ 83,6 525,35 passa a ser escrita ........................................ 525,4 O resultado correto é ................................................. 3416,6. Na subtração, deve-se seguir o mesmo procedimento.

Multiplicação e Divisão Suponha que desejemos, por exemplo, multiplicar 3,67 por 2,3. Realizando normalmente a operação encontramos 3,67 x 2,3 = 8,441. Entretanto, procedendo desta maneira, aparecem, no produto, algarismos que não são significativos. Para evitar isto, devemos observar a seguinte regra: verificar qual o fator que possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado, manter apenas um número de algarismos igual ao deste fator. No nosso caso, o fator que possui o menor número de algarismos significativos é 2,3, tal que devemos manter, no resultado, apenas dois algarismos, ou seja: 3,67 x 2,3 = 8,4. Na aplicação desta regra, devemos ao abandonarmos algarismos no produto, usar o critério de arredondamento, que diz: número acima de 5 inclusive arredondasse para cima e número abaixo de cinco permanece invariável. Para a divisão o procedimento é análogo. Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28 Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,3

Na potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação): Potenciação - (1,52 x 103)2 = 2,31 x 106 Radiciação - (0,75 x 104)1/2 = 0,87 x 102

Exercício 01) Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela ao lado. Com esse conjunto de medidas, obtenham o valor médio e o desvio médio. Apliquem a teoria dos algarismos significativos e expressem os resultados no modo adequado de acordo com essa teoria. Valor Médio: n Dn (mm) Dn (102 mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 12,2 12,3 12,1 12,4 - 1,25 + 8,75 - 11,25 + 18,75 N= 8 Dn = 97,7mm Dn = (55,0010-2 )mm Desvio Médio:

O valor da grandeza é D = (12,2125  0,06875) O valor da grandeza é D = (12,2125  0,06875). No entanto, observa-se que a incerteza no valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos é admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na apresentação final . Escreve-se o resultado final da seguinte maneira: D = (12,21  0,07) mm

Exercícios 1. Quantos algarismos significativos têm os seguintes números ? a) 31.04 b) 0.34000 c) 0.00050 d) 0.0034000 e) 20500(50) f) 1400000 g) 0.54721 ± 0.00005 h) 7205000(750) i) 5000(50) j) 1400000(500) k) 1.3205(0.3) l) 0.532(0.7) m) 0.00050(7) n) 0.0034000(30) 2. Seja R = A − B. Determine o número de algarismos significativos de R quando A = 424.409(0.5) e B = 424.392(0.5). Comente os resultados obtidos.

3) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos significativos. (a) ( 32,8  0,3 ) g (b) ( 72  2 ) cm (c) ( 4,19  0,02 ) g (d) ( 123  3 )x10 2 m (e) ( 8237  3 )x10 h (a) (b) (c) (d) (e) m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g 12314 m 82372 h m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h

4. Consideremos os seguintes dados: Encontre o desvio padrão da amostra de idades. Nome  Idade  Idade Paula 22 Gonçalo Manuel 24 Pedro 20 Carla 26 Cristina Maria 23 Sofia 28 João 21 Susana 30

Encontrar o valor médio: Encontrar o desvio médio: 5) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes ( N = 5 ), forneceu a tabela: Encontrar o valor médio: Encontrar o desvio médio: Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos n 1 2 3 4 5 Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27