BETINA PEDEMONTE Argumentação e demonstração: comparação entre as duas estruturas École d’eté de Didactique de Matematique 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Pedemonte, 2002 Para Boero, Garuti e Mariotti (PME XX, 1996): Durante a elaboração de uma conjectura, o estudante constrói, progressivamente, sua explicação, por meio de uma atividade argumentativa intensa, interconectada por justificações das suas escolhas; na etapa seguinte, o estudante conecta a esse processo, de forma coerente, a organização de alguns dos argumentos produzidos anteriormente, em uma seqüência lógica. Maria Inez Miguel, 2006 Análise da relação do ponto de vista cognitivo, entre: Argumentação (construção de conjectura) Demonstração (produzida logo a seguir)

Hipótese Dependendo do processo de produção da demonstração, o aluno pode relacionar os argumentos utilizados durante a construção da conjectura, em uma cadeia dedutiva. Pedemonte, 2002 Unidade cognitiva A continuidade existente entre a argumentação e a demonstração. Maria Inez Miguel, 2006

Durante o processo de resolução de um problema, que conduz à construção de um teorema (Mariotti, PME XXI, 1997), pode-se supor que uma argumentação é desenvolvida a fim de produzir uma conjectura; quando o enunciado (da conjectura) é validado, no interior de uma Teoria Matemática, tem-se uma demonstração produzida. Pedemonte, 2002 Enunciado válido enunciado demonstração teorias Conjectura enunciado argumentação concepções (Balacheff, 94-95) Maria Inez Miguel, 2006

Duval (1995): estuda as diferenças entre argumentação e demonstração apoiadas na existência de uma distância cognitiva; elas têm estruturas completamente diferentes. Pedemonte, 2002 A continuidade entre dois passos da dedução: na demonstração, a conclusão de um passo é premissa para o passo seguinte; na argumentação, as inferências semânticas (uma espécie de re-interpretação, em que os argumentos se juntam uns aos outros, sob pontos de vista diferentes) e as inferências discursivas articulam as proposições em função dos seus conteúdos e não em função do seu estatuto. Maria Inez Miguel, 2006

Valor epistemológico de uma proposição depende do estatuto teórico que ele tem na demonstração, além de que, na argumentação ele está completamente ligado a seu conteúdo. (Duval, 1995) Análise estrutural da relação entre demonstração e argumentação para determinar as continuidades e diferenças, além de distinguir aquelas que estão ligadas ao sistema de referência (linguagem, expressão, epistemologia, etc.), daquelas ligadas à sua estrutura. (Pedemonte, 2002) Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Unidade cognitiva (continuidade arg/dem) considera sobretudo o sistema de referência da argumentação e da demonstração; a continuidade entre as palavras, expressões, linguagem, epistemologia, etc. (Boero, Garuti e Mariotti, 1996) Unidade cognitiva ou diferença entre as estruturas dos dois conceitos pode ter importância sob o ponto de vista cognitivo; para essa comparação, ela usa, como ferramenta, o Modelo de Toulmin. (Pedemonte, 2002) Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Esquema ternário de Toulmin E enunciado (a conclusão de cada argumento); D dados que justificam o enunciado (a conclusão se baseia em um certo nº de dados que são produzidos para sustentar o enunciado; os dados são significativos porque eles são o ponto de partida de cada argumento; podem ser constituídos de fatos, informações, exemplos; é sobre os dados que o enunciado se apóia) P permissão de inferir (é a parte do argumento que estabelece a conexão lógica entre D e E); para passar de D a E, é necessário uma regra geral que permite inferir P. Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Etapas auxiliares do Modelo de Toulmin F indicador da força do argumento; R refutação potencial do enunciado (conclusão); S suporte da permissão de inferir. Os dados e as regras nem sempre permitem inferir o enunciado com absoluta certeza; F é um indicador dessa precisão e R as restrições para que, a partir dos dados o enunciado possa ser inferido. Quando a força do argumento é fraca, são levadas em consideração as refutações potenciais e um certo número de suportes que podem ajudar a obter a permissão de inferir. Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Esquema completo do Modelo de Toulmin Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006 D (dados) P (permissão de inferir) S (suporte) F (força) R (refutação potencial) E (enunciado)

Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006 Problema 1. ABC é um triângulo qualquer. Exterior ao triângulo, três quadrados são construídos sobre cada um dos três lados. Constrói-se, então, três novos triângulos, ligando os segmentos livres dos quadrados. Comparar a área de cada um dos três triângulos com a área do triângulo ABC.

Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Solução de uma dupla italiana 4º ano (50min) Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006 ….Les élèves construisent les hauteurs des triangles ABC et IDC 31. L : Je suis en train de prolonger la droite, oui, la droite sur ce segment… qu’est-ce que je dois faire ? 32. G : la droite par les points B et C 33. L : ah c’est vrai ! 34. G : puis il faut faire la perpendiculaire à celle- là 35. L : ah voilà, mais tu sais qu’elles semblent être presque… 36. G : presque pareilles ! 37. L : non, plus qu’égales : elles semblent être perpendiculaires, je l’avais déjà observé tout à l’heure. E7 : les hauteurs (AL et IM) semblent être égales E8 : les hauteurs (AL et IM) semblent être perpendiculaires Argumentação

. Pedemonte, Élèves ensemble : eh ces deux triangles sont égaux ! 51. L : c’est vrai, ALC et ICM alors ces deux triangles qu’est ce qu’ils ont ? 52. G : Nous considérons… alors AC est égal a IC parce qu’ils sont côtés du même carré 53. L : attends ! 54. G : AC est égal à IC parce qu’ils sont côtés du carré, puis 55. L : LC… 56. G : il est égal à CM, pourquoi ? 57. L : Alors … Pourquoi il est égal à CM ? … Selon moi c’est mieux de prouver… non attends cet angle est droit et cet angle aussi est droit 58. G : Pourquoi ? 59. L : Parce qu’elles sont les hauteurs n’est-ce pas ? 60. G : donc elles sont perpendiculaires et puis il faut un côté ou un angle, il faut trouver un autre angle ou on est obligé à trouver un autre côté 61. L : par le deuxième critère d’égalité n’est-ce pas ? 62. G : eh oui 63. L : mais alors on peut trouver un autre angle 64. G : alors l’angle… 65. L : celle-ci et celle-là ou bien celle-ci et celle-là 66. G : ces deux angles ne sont pas complémentaires ou supplémentaires à cet angle ? 67. L : non 68. G : si, si, cet angle est droit, ACI est droit, il est l’angle droit du carré, alors l’angle ACL + LCI est 90° et MCI + ICL est 90° donc ils sont complémentaires 69. L : oui, oui, ils sont complémentaires 70. G : alors ça va, ils sont égaux Les énoncés décrivent des “faits” dont la valeur épistémique est liée à la perception de la figure dans Cabri. Le « drag » de Cabri permet aux élèves de voir les deux petits triangles égaux (  ALC et  ICM). Les élèves s’aperçoivent que les hauteurs font partie des deux triangles égaux. L’énoncé explicite encore un “fait”. E9 : les triangles(  ALC et  ICM) sont égaux Le discours de l’élève est : les triangles trouver des côtés sont égaux et des angles égaux critère d’égalité La structure argumentative est celle de l’abduction : D9 = ? E9 P : critère d’égalité D9 : AC = IC E9 : les triangles  ALC =  IMC  ALC et  ICM ?  ACL =  ICM sont égaux P : critère d’égalité Les élèves doivent prouver que les angles ALC et ICM sont égaux. Ils n’ont à disposition ni les données ni le permis d’inférer. D9’ : ? E9’ :  ACL =  ICM P : ? D9’ :  ACL+  LCI=90° E9’ :  ACL =  ICM  ICM+  LCI=90° P : angles complémentaires sont égaux Maria Inez Miguel, 2006

Prova Maria Inez Miguel, 2006 Pedemonte, 2002 Je considère le triangle  ABC et le triangle  ICD. D’abord je considère les triangles  ALC et  ICM et je démontre qu’ils sont égaux par le deuxième critère d’égalité parce qu’ils ont: - AC = IC parce que côtés d’un carré -  ALC =  IMC parce que droits (angles formés par l’intersection entre le côté et la hauteur) -  ACL =  ICM parce que complémentaires d’un même angle (LCI) En particulier IM = AL. Donc les triangles  ABC et  ICD ont la même base (parce que côtés du même carré) et même hauteurs, donc ils ont la même aire. La structure devient celle d’une déduction: D9 : AC = IC E9 : les triangles  ALC =  IMC  ALC et  ICM  ACL =  ICM sont égaux P : critère d’égalité Si les triangles sont égaux on peut conclure, que les hauteurs sont égales et donc les aires, puisque les bases sont égales D10 : E9 E10 : les hauteurs sont égales P : héritage de l’égalité D11 : E10 E11: les aires et égalité des triangles des bases  ABC et  ICD  sont égales  P : formule de l’aire

Problema 2. Seja um segmento AB e C o seu ponto médio. Constrói-se um círculo de centro C e de diâmetro AB. Recomeça-se essa construção com o segmento AC e seu ponto médios, o segmento CB e seu ponto médio. Obtém-se dois círculos tendo por diâmetro, respectivamente, AC e CB. Continua- se a decompor os segmentos resultantes em duas metades e se constrói sobre essas partes os círculos tendo por diâmetro esses segmentos. Como evolui o tamanho total dos perímetros de uma subdivisão a outra? Como evoluem as áreas totais dos círculos de uma subdivisão a outra? Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

Pedemonte, 2002 Maria Inez Miguel, 2006

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