Escoamento em rios Modelo Muskingum Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum. Supõe que S (armazenamento) está relacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)

Escoamento em rios: Muskingum Continuidade Relação C1+C2+C3=1 K é o tempo médio de deslocamento da onda X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída S = K [X I +(1-X) Q] A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:

Intervalo de tempo é o intervalo de tempo para simulação da propagação Para que os coeficientes da equação sejam positivos é o intervalo de tempo para simulação da propagação

K e X O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos.

Definir valor de X O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3. Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia. Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento. Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo.

Efeito de X

Efeito de K

Definir K O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de Dt. O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade. Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.

Métodos para estimativa dos parâmetros Mínimos quadrados  Di Sc       So

Tradicional método da laçada Estimativa de K e X Tradicional método da laçada Variar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta Ajustar uma linha de tendência linear K será igual ao coeficiente angular da reta X=X1 X= Xn S/∆t S/∆t = a. QI + b K = a QI  

Método da laçada - Exemplo A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de rio. Determine os valores dos parâmetros K e X Tempo (h) Entrada (m3/s) Saída (m3/s) 30 6 120 39 12 286 45 18 412 93 24 373 181 306 237 36 246 264 42 198 261 48 165 54 141 225 60 123 202 66 108 184 72 174 78 81 153 84 135 90 63 117

Muskingum-Cunge Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho Ou:

Roteiro de Ajuste Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5 Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada Calcular co Calcular ∆x por processo iterativo A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por Calcular K e X e verifique se está dentro da faixa de validade Caso contrário modifique ∆x

Exemplo Por convergência X=0,31 K = 1,34 Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045. o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s Por convergência X=0,31 K = 1,34 adotado

Muskingum Cunge não linear A celeridade não é constante Os parâmetros do método de Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da água ou com a vazão Celeridade diminui Celeridade aumenta

Muskingum Cunge não linear Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3) Só o que não muda é o Dx

Muskingum Cunge não linear Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q

Solução não-linear Cálculo de X e K em cada célula de cálculo Calcular K e X com base em: (1) Qt (2) Qt, It e It+1 (3) todos. t Qt+1 t+1 It+1 t It Qt i x i+1

Exemplo Jacuí Linear x Não-linear