Prof. André Aparecido da Silva Medidas de dispersão: Desvio médio, Desvio-padrão Variância Estatística Aplicada 2º Ano – Ensino Subsequente Prof. André Aparecido da Silva E-mail: anndrepr@yahoo.com.br

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância INTRODUÇÃO Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados.

INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO) MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO) Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados.

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA (MA)   A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA (MA)   Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?

SOLUÇÃO (MA) MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (MA)

DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SITUAÇÃO-PROBLEMA Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo: 1, 6, 4, 10, 9

A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5 MA = 30/5 MA = 6 A média aritmética é 6.

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância MÉDIA / DESVIO Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:

Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO desvio do valor 1 1 - 6 = -5 desvio do valor 6 6 - 6 = 0 desvio do valor 4 4 - 6 = -2 desvio do valor 10 10 - 6 = 4 desvio do valor 9 9 - 6 = 3 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3...

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância ... vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.

DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO MÉDIO

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:

Formula desvio médio MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Formula desvio médio

DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5 DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3) MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5 DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3) DM = 14 DM = 2,8 O desvio médio é 2,8.

O módulo garante que o valor seja positivo. EX: +3 = 3 -3 = 3 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância O módulo garante que o valor seja positivo. EX: +3 = 3 -3 = 3

VARIÂNCIA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:

V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) . 5 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) . 5 V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9) 5 V = 54 V = 10,8 A variância é 10,8.

DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DESVIO PADRÃO

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28. O desvio padrão é  3,28.

O desvio padrão... MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância O desvio padrão...

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;

o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância OBSERVAÇÕES: o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.

1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: o desvio médio; a variância; o desvio padrão.

A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO - MÉDIA A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MA = (2+4+6+12) MA = 24 M = 6 4 4

SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6) 4 DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =

SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO) Tirando do módulo teremos: DM = 4+2+0+6 DM = 12 DM = 3 4 4

A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA - SOLUÇÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²) 4 V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²

Continuando V = (-4)² + (2)² + 0² + 6² 4 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância VARIÂNCIA - SOLUÇÃO Continuando V = (-4)² + (2)² + 0² + 6² 4 V = 16 + 4 + 0 + 36 V= 56 V = 14 4 4

SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: c) DP = 14 = 3,74

a média aritmética; o desvio médio; a variância; o desvio padrão. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a média aritmética; o desvio médio; a variância; o desvio padrão.

10 arremessos de cada jogador MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador 6 MURIEL 4 JONAS 8 EDSON 2 ROMUALDO 7

b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92 c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64 d) DP = 4,64 = 2,15

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.  Taxistas segunda terça quarta quinta I 10 9 23 12 II 16 18 8 32 III 25 17 30

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância. Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos: MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5 MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5 MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas. VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25 VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75 VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25 Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.

SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas. DPI = 31,25  5,59 litros DPII = 74,75  8,64 litros DPIII = 58,25  7,63 litros Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?   Oferta 1 Oferta 2 Média Salarial 890,00 950,00 Mediana 800,00 700,00 Desvio Padrão 32,00 38,00

MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância SOLUÇÃO Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS REGIÃO AÉCIO % % Acumulado NORDESTE 7.967.846 15,66% Norte 3.376.148 6,63% 22,29% Centro-Oeste 4.388.594 8,62% 30,92% Sul 9.686.559 19,03% 49,95% Sudeste 25.470.265 50,05% 100,00%   Total de eleitores 50.889.412

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO DESVIO MÉDIO - AÉCIO REGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores NORDESTE 7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|+ 2.210.036 Norte 3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|+ 6.801.734 Centro-Oeste 4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|+ 5.789.288 Sul 9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|+ 491.323 Sudeste 25.470.265 25.470.264 - 10.177.882| 15.292.383 Total 30.584.765 Média Desvios 6.116.953

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA Variância REGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores NORDESTE 7.967.846 |7.967.846 - 10.177.882|^2+ 4.884.260.889.325 Norte 3.376.148 |3.376.148 - 10.177.882|^2+ 46.263.590.848.143 Centro-Oeste 4.388.594 |4.388.594 - 10.177.882|^2+ 33.515.860.178.375 Sul 9.686.559 |9.686.559 - 10.177.882|^2+ 241.398.683.388 Sudeste 25.470.265 |25.470.264 - 10.177.882|^2+ 233.856.965.584.783 TOTAL 318.762.076.184.013 Variancia 63.752.415.236.803 Desvio Padrão 7.984.511

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA REGIÃO DILMA % % Acumulado NORDESTE 20.176.579 37,05% Norte 4.393.301 8,07% 45,12% Centro-Oeste 3.254.304 5,98% 51,10% Sul 6.759.908 12,41% 63,51% Sudeste 19.867.894 36,49% 100,00%   Total de eleitores 54.451.986 Média por Região 10.890.397 Desvio Médio 7305471,4

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO REGIÃO DILMA Desvio Médio NORDESTE 20.176.579 |20.176.579 - 10.890.397|+ 9286182 Norte 4.393.301 |4.393.301 - 10.890.397|+ 6497096 Centro-Oeste 3.254.304 |3.254.304 - 10.890.397|+ 7636093 Sul 6.759.908 |6.759.908 - 10.890.397| + 4130489 Sudeste 19.867.894 |19.867.894 - 10.890.397| 8977497 Total de eleitores 54.451.986   Média por Região 10.890.397 Total 36527357 7305471,4 Desvio médio 1593343

Variância REGIÃO DILMA VARIANCIA Valores NORDESTE 20.176.579 |7.967.846 - 10.177.882|^2+ 99.973.933.698.852 Norte 4.393.301 |3.376.148 - 10.177.882|^2+ 33.461.381.973.226 Centro-Oeste 3.254.304 |4.388.594 - 10.177.882|^2+ 47.935.937.860.947 Sul 6.759.908 |9.686.559 - 10.177.882|^2+ 11.682.548.999.055 Sudeste 19.867.894 25.470.264 - 10.177.882|^2+ 93.896.324.808.135 TOTAL 286.950.127.340.214 Variancia 57.390.025.468.043 Desvio Padrão 7.575.620

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005. IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003. PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.

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