INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula Propriedades da Programação Linear Proporcionalidade A contribuição de cada actividade para o valor da função objectivo é proporcional ao nível de actividade xj (representado pelo termo cjxj) A contribuição de cada actividade, no lado esquerdo da equação das restrições, é proporcional ao nível de actividade xj (representada pelo termo aixj) Não pode haver expoentes superiores a um. Exemplos de violação da propriedade da Proporcionalidade Aumento da taxa de retorno marginal Diminuição da taxa de retorno marginal 3 x1 Z x1 3 x1- C0 C0 3 x1 Z x1 3 x1 Z x1 Custo Inicial C0 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Propriedades da Programação Linear (cont.) Aditividade Todas as funções, num modelo de programação linear (seja a função objectivo ou qualquer das restrições), é a soma das contribuições individuais das respectivas actividades. Exemplos de violação da propriedade da Aditividade (x1, x2) Valor de Z Aditividade satisfeita Aditividade Violada Caso 1 Caso 2 (1,0) 3 (0,1) 5 (1,1) 8 9 7 (x1, x2) Quantidade de Recursos Utilizados Aditividade satisfeita Aditividade Violada Caso 3 Caso 4 (1,0) 3 (0,1) 5 (1,1) 8 9 7 3x1 + 5x2 3x1 + 5x2 + x1.x2 3x1 + 5x2 - x1.x2 3x1 + 5x2  18 3x1 + 5x2 + 0.5 x1.x2 3x1 + 5x2 – 0.1 x12.x2 aumento no lucro por complementaridade dos produtos diminuição no lucro por competitividade entre produtos Tempo de produção perdido na transição entre produtos Existem tempos de inactividade 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Propriedades da Programação Linear Divisibilidade As variáveis de decisão, num modelo de programação linear, podem tomar qualquer valor maior ou igual a zero, incluindo valores não inteiros. Estas variáveis não se restringem a valores inteiros. Como cada variável de decisão representa um nível de actividade, assume-se que as actividades possam decorrer em níveis parciais. Certeza O valor atribuído a cada parâmetro de um modelo de programação linear é uma constante conhecida. Na realidade, esta propriedade raramente é satisfeita. Os valores dos parâmetros utilizados baseiam-se em projecções para situações futuras, o que induz algum grau de incerteza. Por esta razão, é muito importante a realização de uma análise de sensibilidade após a implementação do novo sistema para avaliar a qualidade dos resultados. 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exemplos de aplicação de modelos de Programação Linear Definição de um Plano de Radioterapia Este tratamento envolve a utilização de 2 feixes de radiação que terão de passar pelo corpo de um paciente de forma a matar as células malignas. Devido à atenuação da propagação dos feixes no interior do corpo, cada feixe liberta mais radiação próximo da entrada do feixe do que do lado de saída. A dispersão do feixe também implica que seja afectado algum tecido fora do percurso do feixe. Assim, deverá ser estudada a intensidade do feixe de forma a maximizar a sua capacidade destrutiva de células malignas mas sem ultrapassar os valores estabelecidos como de segurança para evitar outros tipos de complicações. O objectivo é definir a melhor combinação de feixes e a sua intensidade para gerar a melhor distribuição possível das doses de radiação. Minimizar Z = 0.4 x1 + 0.5 x2 s.a.: 0.3 x1 + 0.1 x2  2.7 0.5 x1 + 0.5 x2 = 6 0.6 x1 + 0.4 x2  6 xi  0 Área Fracção da Dose de entrada absorvida por Área Restrições na dose total média, krad Feixe 1 Feixe 2 Tecidos saudáveis 0.4 0.5 Minimizar Tecidos críticos 0.3 0.1  2.7 Região do tumor = 6 Centro do tumor 0.6  6 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Planeamento Regional Controlo da Poluição do Ar Deposição de Resíduos Sólidos Distribuição de Pessoal Rede de Distribuição de Produtos 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exercício 3.4.5 Considere o seguinte problema onde o valor de c1 ainda não foi determinado. Maximizar Z = c1 x1 + 2 x2 s.a.: 4 x1 + x2  12 x1 – x2  2 xi  0 Utilize o método gráfico para determinar as soluções óptimas (x1, x2) para os vários valores de c( possíveis 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exercício 3.4.20 Joyce e Mary dirigem uma instituição de ensino pré- escolar e estão a tentar decidir a melhor escolha em termos de alimentação das crianças. Como gostavam de manter os seus custos baixos mas, ao mesmo tempo, gostavam de satisfazer as necessidades nutricionais das crianças, tendo seleccionado os seguintes alimentos: manteiga de amendoim e sandes com compota ou uma combinação de bolachas, leite e sumo de laranja. O conteúdo nutricional de cada tipo de alimento e o seu custo estão indicados na tabela seguinte: Alimento Calorias(Gordura) Total de calorias Vitamina C (mg) Proteínas (g) Custo ($) Pão (1 fatia) 10 70 3 5 Manteiga de Amendoim 75 100 4 Compota Morango 50 7 Bolacha 20 60 1 8 Leite (1 copo) 150 2 15 Sumo de Laranja 120 35 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exercício A direcção escolar de uma cidade tomou a decisão de fechar uma das suas escolas secundárias (6º, 7º e 8º ano) no fim do ano escolar, distribuindo os seus alunos pelas outras escolas. A direcção regional providenciará o transporte de todos os estudantes que tenham de percorrer um trajecto superior a 1 milha, por isso, a direcção escolar pretende definir um plano de distribuição dos alunos que minimize o custo total de transporte. O custo anual do transporte por aluno de cada uma das 6 áreas residenciais para cada uma das escolas é dado no quadro seguinte, em que 0 indica que não há necessidade de transporte e – que não é possível efectuar o transporte. Custo de Transporte por Aluno (u.m.) Área N.º Alunos % no 6º Ano % no 7º Ano % no 8º Ano Escola 1 Escola 2 Escola 3 1 450 32 38 30 300 700 2 600 37 28 35 - 400 500 3 550 200 4 350 40 5 39 34 27 6 Capacidade da Escola 900 1 100 1 000 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exercício (cont.) A direcção escolar também impôs restrições na percentagem de alunos que integram cada ano escolar, devendo esta percentagem situar-se entre 30 e 35% do total de alunos de cada escola. O quadro anterior indica as percentagens de alunos que frequentarão cada nível de escolaridade no próximo ano lectivo. Os alunos de cada área poderão ser distribuídos por mais do que uma escola, mantendo-se a proporcionalidade de alunos em cada ano. a) Formule um modelo de programação linear para este problema b) Para cada uma das 4 propriedades do modelo de programação linear, analise a sua aplicabilidade Proporcionalidade Aditividade Divisibilidade Certeza 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3ª Aula (cont.) Exercício (cont.) c) Utilize o programa SOLVER – Excel, para resolver o problema formulado na alínea a) Após a análise dos resultados obtidos anteriormente, a direcção escolar exprimiu alguma preocupação na divisão por várias escolas de estudantes provenientes da mesma área de residência. Assim, solicitou uma nova avaliação da situação, na tentativa de manter “os vizinhos todos juntos”. d) Ajuste os resultados obtidas na alínea c) às novas condicionantes impostas. Quanto iria aumentar o custo do transporte? A direcção escolar está a considerar a eliminação de algumas linhas de transporte para reduzir os custos. A 1ª opção é eliminar o transporte para os estudantes que têm de viajar entre 1.6 km e 2.4 km, cujo custo por aluno é de $200. A 2ª opção é também eliminar o transporte dos alunos que têm de viajar entre 2.4 km e 3.2 km, para os quais se estima um custo de $300. 2001/2002