Circunferência A B P r r r C r O r r E D

Elementos A A B O O B Corda AB Diâmetro AB

Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB

Arcos e ângulos A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo

Arcos e ângulos O B A Arco de meia volta

Arco e ângulo central B C  O  D  A E F

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida 1º = 360 1 220o 320o 230o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o

Operações com arcos Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por um ângulo; Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).

Adição Sendo  = 18º32’45” e  = 34º50’36”, vamos obter  + . 52º82’81” 82’ = 60’ + 22’ = 1º22’ 81” = 60” + 21” = 1’21” 52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”

Subtração Sendo  = 42º32’40” e  = 18º50’54”, vamos obter –  . = 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100” 41º91’100” – 18º50’54” 23º41’46”

Multiplicação Sendo  = 23º18’34”, vamos obter  x 5. 23º18’34” x 5 115º90’170” 115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”

Divisão Sendo  = 34º20’18”, vamos obter  : 3. 34º 20’ 18” 3 1º → 60’ 34º 20’ 18” 3 1º → 60’ 11º 26’ 46” 80’ 2’ → 120” 138” R. 11º26’46”

O radiano como unidade de medida B Comprimento do arco (AB) = R R R ⇓  O A R m(AB) = 1 radiano ⇓  = m(AB) = 1 rad

Exemplo Comprimento do arco (AB) = 1,5 R ⇓ m(AB) = 1,5 rad ⇓  A ⇓ O R  = m(AB) = 1,5 rad comprimento  = m(AB) = R

Arco completo comprimento  = R  O A ≡ B R 2 R  = = 2 rad R

Exemplos A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen-to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. comprimento A  = 9 cm R O 10,8 cm 10,8 cm  = = 1,2 rad 9 cm B

Exemplos O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên-cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 4 cm 360º 2 R O x 30º 30º B 2 . 4 . 30 2  x = = ≈ 2, 1 cm 360 3

Exemplos Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento  = R 40 cm R  O 40 cm R 5 = ⇒ R = 8 cm R B

Conversões Representação Medida em graus Medida em radianos Arco completo 360º 2 Arco de meia volta 180º  Arco de ¼ de volta 90º /2 Arco nulo 0º

Transformando unidades As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a  rad

Exemplos Transformar 72º em radianos. 180º  rad x 72º 72 .  5 rad 2 5 rad x = = 180

Exemplos 5 Exprimir rad em graus. 4  rad equivale a 180º. 5.180 x = 225º 4