A razão como comparação Porcentagem A razão como comparação

Porcentagem: a razão como comparação Paulo fez uma prova que valia 8 e tirou 5. Para sua irmã Marta a mesma prova valia 5 e ela tirou 3. Qual dos dois se saiu melhor? O problema consiste em comparar 5 com 8 e, também, 3 com 5. Essa comparação pode ser feita a partir da operação divisão. A razão entre duas medidas de mesma espécie estabelece uma comparação entre elas.

Porcentagem: a razão como comparação Paulo fez uma prova que valia 8 e tirou 5. Para sua irmã Marta a mesma prova valia 5 e ela tirou 3. Qual dos dois se saiu melhor? Veja como ficam os casos de Paulo e Marta. 5 62,5 Paulo → = 0,625 = = 62,5 % 8 100 3 60 Marta → = 0,6 = = 60 % 5 100 Paulo se saiu melhor. Mas por pouco!

Porcentagem: a razão como comparação Veja como transformar uma porcentagem em número decimal e vice-versa. 10 1 10 % = = = 0,1 100 10 5 5 % = = 0,05 100 100 100 % = = 1 100 15 0,15 = = 15 % 100

Porcentagem: a razão como comparação No cálculo de porcentagem, a agilidade é muito importante. Tente fazer os cálculos mentalmente. Suponha que uma loja venda um produto por R$ 150,00 e, num certo dia, dê descontos sobre esse preço. Vamos achar, em reais, os descontos relativos a percentuais de 10%, 40%, 4% e 44%.

Porcentagem: a razão como comparação Veja os cálculos. 10 1 1 10 % = = → 10 % de 150 = . 150 = 15 100 10 10 40 % = 4 . 10% → 40 % de 150 = 4 . 15 = 60 1 1 . 40% → 4 % de 150 = . 60 = 6 4 % = 10 10 = 60 + 6 = 66 44 % = 40% + 4% → 44 % de 150

Porcentagem: a razão como comparação Para refletir. A que percentuais de um número correspondem a metade dele, a terça parte dele, a quarta parte dele, o próprio número e o dobro do número?

Exemplos 150 pessoas participam de um concurso, sendo 46% homens. Quantos homens e quantas mulheres há entre os participantes? Homens: 46 % de 150 = 0,46 . 150 = 69 Mulheres: 150 – 69 = 81

Exemplos Numa pesquisa sobre preferência de refrigerantes, 32% dos consumidores preferem a marca A, 42% dos consumidores preferem a marca B, e as outras 91 pessoas, a marca C. Qual é o total de pessoas consultadas. Soma dos que preferem A e B: 32% + 42% = 74% Preferem a marca C: 100% – 74% = 26% 26 % de x = 91 → 0,26 . x = 91 91 x = = 350 26

Exemplos Juntam-se 36 L de água e 39 L de vinho. Qual é a porcentagem de cada componente na mistura? Vol. de água 36 Água = = = 0,48 = 48% Vol. total 75 Vol. de vinho 39 Vinho = = = 0,52 = 52% Vol. total 75

Aumentos e descontos

Aumentos e descontos Se V0 é o valor inicial de uma medida e ela sofre um aumento ou um desconto segundo um percentual i, como obter seu valor final VF? Nesse tipo de problema, vamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de desconto.

Fator de aumento Um produto que custa R$ 300,00 sofre um aumento de 15%. Quanto ele passa a custar? Como 100% + 15% = 115% Podemos dizer que o preço final é 115% do preço inicial. 115 % de 300 = 1,15 . 300 = 345 O número 1,15 é o fator de aumento (fA).

Exemplos Veja outros casos. Aumento percentual de 5% (i = 0,05) fA = 100% + 5% = 105% = 1,05 = 1 + i Aumento percentual de 32% (i = 0,32) fA = 100% + 32% = 132% = 1,32 = 1 + i Aumento percentual de 3,5% (i = 0,035) fA = 100% + 3,5% = 105% = 1,035 = 1 + i

Aumentos De maneira geral: Se uma medida aumenta segundo uma taxa percentual i, o fator de aumento é 1 = 100% fA = 1 + i i = taxa de aumento Se um valor inicial VO tem um aumento percentual i, o valor final VF é VF = VO . (1 + i)

Exemplos Um comerciante vende um tênis por R$ 65,00, à vista. Pagando com um cheque pré-datado para 30 dias, ele aumenta 12%. Qual será o preço do tênis? O percentual de aumento i = 12% = 0,12. O fator de aumento é fA = 1 + i = 1,12. VF = VO . (1 + i) = 65 . 1,12 → VF = 72,80

Exemplos Uma loja vende um CD por R$ 20,00, com lucro de 25% sobre o preço de custo. Qual era o preço de custo? O percentual de aumento i = 25% = 0,25. O fator de aumento é fA = 1 + i = 1,25. VF = VO . (1 + i) 20 20 = VO . 1,25 → VO = = 16 1,25

Fator de desconto Um produto que custa R$ 250,00 sofre um desconto de 14%. Quanto ele passa a custar? Como 100% – 14% = 86% Podemos dizer que o preço final é 86% do preço inicial. 86 % de 250 = 0,86 . 250 = 215 O número 0,86 é o fator de desconto (fD).

Exemplos Veja outros casos. Desconto percentual de 5% (i = 0,05) fD = 100% – 5% = 95% = 0,95 = 1 – i Desconto percentual de 19% (i = 0,19) fD = 100% – 19% = 81% = 0,81 = 1 – i Desconto percentual de 83% (i = 0,83) fD = 100% – 83% = 17% = 0,17 = 1 – i

Descontos De maneira geral: Se uma medida sofre um desconto segundo um percentual i, o fator de desconto é 1 = 100% fD = 1 – i i = taxa de desconto Se um valor inicial VO sofre um desconto percentual i, o valor final VF é VF = VO . (1 – i)

Exemplos Uma fábrica produz mensalmente 1350 peças de sapatos. Qual será sua produção mensal, caso ela reduza em 4%? O percentual de desconto i = 4% = 0,04. O fator de desconto é fD = 1 – i = 0,96. VF = VO . (1 + i) = 1350 . 0,96 → VF = 1296

Porcentagem: a razão como comparação Para refletir. O real 1 é fator de aumento? É fator de desconto? Como distinguir um fator de aumento de um fator de desconto, comparando-os com o real 1?

Cálculo do percentual de aumento ou desconto A comparação do valor final VF com o valor inicial VO de uma medida nos dá o fator de aumento ou de desconto, conforme o caso. Essa comparação é obtida, dividindo-se VF por VO? > 1 → fator de aumento = 1 + i VF = VO < 1 → fator de desconto = 1 – i

Exemplos Uma loja aumentou o preço de um liquidificador de R$ 35,00 para R$ 40,60 e reduziu o preço de uma TV de R$ 840,00 para R$ 739,20. Quais foram os percentuais de aumento do liquidificar e de desconto na TV? Liquidificador: VO = 35,00 e VF = 40,60 VF 40,60 = = 1,16 VO 35 → aumento de 16% 1 + i = 1,16 → i = 0,16

Exemplos Uma loja aumentou o preço de um liquidificador de R$ 35,00 para R$ 40,60 e reduziu o preço de uma TV de R$ 840,00 para R$ 739,20. Quais foram os percentuais de aumento do liquidificar e de desconto na TV? TV: VO = 840,00 e VF = 739,20 VF 840 = = 0,88 VO 739,20 → desconto de 12% 1 – i = 0,88 → i = 0,12

Aumentos e descontos sucessivos Muitas vezes, um valor sofre vários aumentos ou descontos sucessivos. No caso, o valor final é obtido, multiplicando-se o valor inicial pelos sucessivos fatores de aumento ou de desconto.

Exemplos Uma indústria produziu, em janeiro, 1500 unidades de certo produto. De janeiro para fevereiro, sua produção aumentou 12%; de fevereiro para março, teve redução de 10%. Quantas unidades foram produzidas em fevereiro e março? De janeiro para fevereiro: aumento 12% → fA = 1,12 De fevereiro para março: redução 10% → fD = 0,90 PF = 1500 . 1,12 → PF = 1680 PM = 1680 . 0,90 → PM = 1512 PM = 1500.1,12.0,90 = 1512

Exemplos Um preço aumenta 10%; depois, aumenta 20%; finalmente, diminui 30%. No caso, o preço volta ao valor inicial? Se não, qual é o percentual de reajuste ou de desconto? 1.º aumento: i = 10% → i = 0,1 → fA = 1,1 2.º aumento: i = 20% → i = 0,2 → fA = 1,2 desconto: i = 30% → i = 0,3 → fD = 0,7 Produto dos três fatores: 1,1 . 1,2 . 0,7 = 0,924 1 – iF = 0,924 → iF = 1 – 0,924 = 0,076 → 7,6% de desconto