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Matemática Financeira Administração Matemática Financeira Unidade 03 Juros Simples Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso

FLUXO DE CAIXA - Linha do Tempo Administração Matemática Financeira FLUXO DE CAIXA - Linha do Tempo Amintas Paiva Afonso Convenção: Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito, pagamento a terceiro, aplicação, investimento. VALOR NEGATIVO = Seta para cima: entrada de dinheiro; saque, recebimento, resgate, retorno de investimento. VALOR POSITIVO =

FLUXO DE CAIXA - EXEMPLO Administração Matemática Financeira FLUXO DE CAIXA - EXEMPLO Amintas Paiva Afonso 15.000,00 -1.872,45 10 O fluxo de caixa acima poderia representar por exemplo um empréstimo de R$ 15.000,00 pago em 10 prestações de R$ 1.872,45.

JUROS SIMPLES - CONCEITO Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES - CONCEITO Amintas Paiva Afonso O QUE SÃO JUROS? Os juros são a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva. Pode ser caracterizado como o aluguel do dinheiro que se negocia.

PARÂMETROS BÁSICOS VALOR PRESENTE (Present Value) (P ou PV): É o Valor Atual ou Capital Inicial. Valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa. Também é chamado de Principal. VALOR FUTURO (Future Value) (F ou FV): É o Valor do Dinheiro em uma data futura. É conhecido por Montante ou Capital Acumulado. Este Valor Futuro, é o Principal acrescido dos juros. PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n): É o número de períodos em que um determinado valor de Principal, ficará aplicado, ou será emprestado a uma determinada taxa de juros.

JUROS SIMPLES - CONCEITO Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES - CONCEITO Amintas Paiva Afonso Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros. Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS SIMPLES - FÓRMULAS Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES - FÓRMULAS Amintas Paiva Afonso Assim, a cada período há um acréscimo de “PV.i” ao capital inicial. Desse modo, após n períodos o juro total produzido será: J = PV . i . n PV = Valor Presente ou capital inicial n = períodos i = taxa de remuneração do capital inicial J = valor dos juros produzidos pelo capital “PV” à taxa de juros “i” em “n” períodos.

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira EXEMPLO Amintas Paiva Afonso Um capital inicial de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dos juros recebidos por essa aplicação durante o período? J = PV . i . n J = 500 . 0,03 . 4 J = 60 Resposta: Essa aplicação rende R$ 60,00 de juros durante o período aplicado (4 meses).

JUROS SIMPLES - FÓRMULAS Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES - FÓRMULAS Amintas Paiva Afonso Sabemos que o montante (FV) é igual ao Capital Inicial (PV), acrescido do total de juros (J), ou seja: FV = PV + J Conforme vimos anteriormente: J = P . i . n, então: FV = PV + PV . i . n E colocando o PV em evidência, tem-se que FV = PV.(1+ i . n) Fórmula de Juros Simples

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira Em outras palavras... Amintas Paiva Afonso Dinheiro tem um custo associado ao tempo

Componentes do custo do $ Administração Matemática Financeira Componentes do custo do $ Amintas Paiva Afonso Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro. Ao transportar $ no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em: inflação risco de crédito taxa real de juros

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira Exemplo de DFC Amintas Paiva Afonso Valor Presente n Valor Futuro Juros Período de capitalização + Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de Empréstimo

Matemática Financeira DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Administração Matemática Financeira DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Amintas Paiva Afonso EXEMPLO: Um investidor aplica no banco R$ 1.000,00, em 20/09/08. Em 20/09/09 a instituição devolve ao investidor R$ 1.100,00. JUROS = 1.100 – 1.000 = 100,00 Taxa de Juros no Período = 100/1000 = 0,1 = 10%.

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Administração Matemática Financeira DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Amintas Paiva Afonso REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: R$ 1.000,00 (Aplicação) SAÍDA DE CAIXA R$ 1.100,00 (Resgate) ENTRADA DE CAIXA PERÍODO 1

Matemática Financeira DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Administração Matemática Financeira DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Amintas Paiva Afonso DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA é o Conjunto de Entradas e Saídas de Caixa durante um período de tempo. Graficamente o Diagrama (DFC) é representado por um Eixo Horizontal (que representa o tempo, normalmente dividido em períodos). Entradas de Caixa (+): seta voltada para cima. Saída de Caixa (-): seta voltada para baixo. 1 2 3 4 5 6

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso A representação gráfica seria: $ 100,00 Valor Presente n 1 2 3 $ 5,00 $ 115,00 Valor Futuro $ 15,00 Juros Incidência de Juros

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira PARÂMETROS BÁSICOS Amintas Paiva Afonso PRESTAÇÕES UNIFORMES (PMT): É o valor a ser pago ou recebido, por determinado período de capitalização no caso em que a série de pagamentos/recebimentos for uniforme. TAXA DE JUROS (i): É o valor da taxa de juros a que um valor fica aplicado por n períodos. TAXA DE DESCONTO (Discount Rate) (d): É a taxa de juros que transforma um Valor Futuro em um Valor Presente (PV).

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira PARÂMETROS BÁSICOS Amintas Paiva Afonso ANO CIVIL: Também chamado de ano calendário, período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28/29, 30 e 31 dias. ANO COMERCIAL: Muito utilizado em operações financeiras, é o ano de 360 dias com todos os meses de 30 dias. FORMAS OU REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: É a maneira como os juros são calculados em uma determinada operações. Podem ser Capitalizados a juros simples ou a juros compostos.

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Administração Matemática Financeira REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Amintas Paiva Afonso JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS JUROS SIMPLES: Os juros de cada período são sempre calculados sobre o Capital Inicial empregado. Exemplo: Capital Inicial: R$ 10.000,00 (PV) e Taxa de Juros: 5% a.a. Final do Ano Saldo Inicio do Ano Juros a Cada Ano Saldo Final do Ano   10.000,00 1 10.000,00 x 0,05 = 500,00 10.500,00 2 11.000,00 3 11.500,00 4 12.000,00 5 12.500,00

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Como vimos, juros é a remuneração do capital: Juros = J = PV * i * n Assim, para calcular o valor futuro, basta somar os juros ao valor presente: FV = PV + J Juntando as duas expressoes “Juros” e “Valor Futuro” temos: FV = PV + (PV * i * n)  FV = PV * [1 + (i * n)] Essa é a fórmula básica da matemática financeira e mostra como corrigir o dinheiro no tempo. FV = PV * [1 + (i * n)]

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira Formulação Matemática: Juros: J = PV . i . n Montante: FV = PV . [1 + (i.n)] Principal: PV = FV / [1 + (i.n)] Taxa: i = [(FV / PV) – 1] / n Período: n = [(FV / PV) – 1] / i Amintas Paiva Afonso Notas: Nas fórmulas, a taxa de juros i está expressa em forma decimal. Os valores de i e de n deverão ser compatíveis, ou seja, se i for expresso ao ano, n deverá também ser expresso em anos. Como os juros simples variam de forma linear, i e n podem ser compatibilizados, dividindo-se ou mutiplicando-se pelo período correspondente à taxa.

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira Pré-requisito básico!!! Amintas Paiva Afonso Importante Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base!! Sugestão: altere sempre n e evite alterar i

Fórmulas de Juros Simples Administração Matemática Financeira Fórmulas de Juros Simples Amintas Paiva Afonso FV PV = ( ) 1 + i × n æ FV ö ( ) ç - 1 ÷ FV = + × PV 1 i n è PV ø i = n æ FV ö ç - 1 ÷ è PV ø n = i

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Administração Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Amintas Paiva Afonso 1o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis) FV = PV (1 + i * n) FV = 50.000 (1 + 0,02 * 36) FV = 50.000 * 1,72 FV = 86.000 Resposta: O montante é de R$ 86.000,00

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Administração Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Amintas Paiva Afonso 2o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o principal aplicado durante o prazo de 8 meses na taxa de 3% ao mês. FV = PV (1 + i * n) 117.800 = PV (1 + 0,03 * 8) 117.800 = PV * 1,24 PV = 117.800 / 1,24 = 95.000 Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Administração Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Amintas Paiva Afonso 3o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal relativa a aplicação. 1 ano = 12 meses FV = PV (1 + i * n) 172.000 = 100.000 (1 + i * 12) 172.000 / 100.000 = 1 + i * 12 1,72 - 1 = 12 * i i = 0,72 / 12 = 0,06 Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% am

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Administração Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Amintas Paiva Afonso 4o Grupo – Dados FV, PV, i , achar n Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o prazo da aplicação. FV = PV (1 + i * n) 368.000 = 200.000 (1 + 0,07 * n) 368.000 / 200.000 = 1 + 0,07 * n) 1,84 = 1 + 0,07 * n 1,84 – 1= 0,07 * n n = 0,84 / 0,07 = 12 Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses.

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 1 Um cliente pegou R$ 4.000,00 emprestado à taxa de 2,5% a.p. Quanto pagará ao emprestador no vencimento do empréstimo daqui a um período? Soluçao: Podemos calcular os juros e somar com o principal: J = PV . i . n  J = 4.000,00 * 0,025 = 100,00 FV = PV + J  FV = 4.000,00 + 100,00 = 4.100,00 Podemos também calcular direto na fórmula do FV: FV = PV . [1 + (i . n)]  FV = 4.000,00 . [1 + (0,025 . 1)] FV = 4.100,00

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 2 Um hospital pegou um empréstimo a taxa de juros de 5,5% a.p. e pagou no vencimento R$ 44.310,00. Qual o valor do empréstimo sabendo-se que o período para o pagamento foi de um mês? Soluçao: FV = PV x (1 + (i x n)) 44.310,00 = PV x (1 + (0,055 x 1)) 44.310,00 = PV x (1,055) PV = 44.310,00 / 1,055 PV = 42.000,00

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 3 Uma clínica presta um serviço e cobra à vista a quantia de R$ 500,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, cobra R$ 560,00. Qual a taxa incluída na compra a prazo? Soluçao: i = ((FV / PV) – 1) x (1 / n) i = ((560,00 / 500,00) – 1) x (1 / 1) i = (1,12 – 1) i = 0,12 ou 12%

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 4 Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestado no banco ao custo de 4% a.m. Quanto pagará de juros após um mês? Soluçao: J = PV x i x n J = 1.000,00 x 0,04 x 1 J = 40,00

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 5 Uma loja vende uma mercadoria à vista por R$ 400,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, a mesma mercadoria tem um acréscimo de 5%. Qual o valor dos juros incluídos na compra à prazo? Soluçao: J = PV x i x n J = 400,00 x 0,05 x 1 J = 20,00

Matemática Financeira Administração Matemática Financeira JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso Exercício 6 Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestados e pagou R$ 80,00 de juros em um mês. Qual a taxa de juros cobrada pelo banco? Soluçao: J = PV x i x n 80 = 1.000,00 x i x 1 i = 80 / 1.000,00 i = 0,08 ou 8% a.m.

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