Transporte em Tempo Mínimo Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br

Introdução Modelo do transporte a tempo mínimo se propõe a atender as demandas de diferentes mercados no menor tempo possível. Exemplos: produtos perecíveis devem ser transportados, ou quando suprimentos militares devem ser enviados às frentes de combate durante uma emergência. Admite-se a existência de m fábricas com capacidade de produção , ,que devem abastecer n depósitos com demandas tais que: . Seja o tempo gasto com o transporte do produto da fábrica i para o depósito j, independentemente da quantidade transportada.

Introdução Transportes das fábricas para os depósitos podem ser feitos simultaneamente, e todas as fábricas produzem um único produto. Para um plano de transporte: a entrega que for a mais demorada determinará o tempo requerido para se completar este plano de transporte. Deseja-se completar todas as entregas no menor tempo possível. T= tempo requerido para completar todas as entregas de um determinado plano de transporte  para todo par (i, j), > 0, Sendo = quantidade a ser transportada da fábrica i ao depósito j.

Transporte em Tempo Mínimo Objetivo: encontrar que satisfaçam as restrições de oferta e demanda e minimizem o tempo de entrega t.  Algoritmo usa o mesmo tipo de quadro de resolução aplicado no “Stepping stone method”. Observações sobre as etapas de aplicação do algoritmo: Para achar uma solução básica viável inicial: usar um método análogo ao da regra do menor custo, aplicado aos tempos de entrega. Com um procedimento análogo ao do “Stepping Stone Method” podem ser encontradas soluções básicas viáveis melhores, se existirem. A regra para selecionar a variável não-básica, que se tornará variável básica na próxima solução básica viável, sofre modificações.

Algoritmo Passo i: achar solução básica viável inicial com m+n-1 variáveis básicas pela “regra do menor tempo de entrega”. ir ao Passo ii. Passo ii: calcular o tempo de entrega , , associado a solução básica viável atual. ir ao Passo iii. Passo iii: eliminar todas as variáveis não-básicas onde tij > T. (basta bloquear estes trajetos). ir ao Passo iv. Passo iv: Colocar o valor -  para a variável básica com tij = T. Construir um ciclo de compensação com as variáveis básicas e uma das variáveis não-básicas que não tenha sido eliminada no Passo iii: Colocar +  ou -  nas células que compõem o ciclo.

Algoritmo Colocar +  na célula não-básica escolhida pois ela deverá receber unidades do produto das variáveis básicas “doadoras” associadas ao valor do ciclo. Se nenhum ciclo puder ser encontrado  solução básica viável atual é ótima (FIM). Caso contrário ir para o Passo v. Passo v: aumentar  mantendo as variáveis básicas do ciclo  0. Sairá da solução básica atual a variável básica que se anular primeiro e tem-se uma nova solução básica viável. Voltar ao Passo ii.

Exemplo Achar o plano de entrega do problema de transporte a tempo mínimo, com a1 = 3, a2 = 7, a3 = 5, b1 = 4, b2 = 3, b3 = 4 e b4 = 4. Os tempos de transporte são: Resolução: D1 D2 D3 D4 O1 2 1 O2 10 8 5 4 O3 7 6

Exemplo As células não básicas têm assim nenhuma será eliminada. A variável básica x21 tem o maior tempo de entrega colocar -  nesta célula e achar um ciclo: O2D1 No ciclo: maior  = 2, a variável não-básica O2D2 entra, saindo a variável básica x21. A nova solução básica viável está no quadro 2: Quadro 2

Exemplo O tempo de entrega T=8 da variável x22. As variáveis não básicas x21 e x34 serão eliminadas pois tem Novo ciclo (Não básica). O maior valor para  é 2 e a nova solução básica está no quadro 3. Quadro 3

Exemplo Tempo de entrega T=7, da variável básica x31. Novo ciclo (não básica) .O maior valor para  é 2, o que implica que x12 sai para a entrada de x11 na nova solução básica. A variável básica com o maior tempo de entrega x31 permaneceu Nesta solução atual (quadro 4)  T = 7. Quadro 4

Exemplo Tempo de entrega T=7, da variável básica x31. Novo ciclo: (Não básica) Maior valor para  é 1  x14 será substituída por x 33 (quadro 5). Quadro 5

Exemplo Tempo de entrega T=7, correspondente a variável básica x31. Não há ciclo a partir de x31. O quadro 5 representa, portanto uma solução ótima. Quadro 5

Exemplo Plano de entrega ótimo: Enviar 3 unidades de o1 para d1, Menor tempo possível: 7.