Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04: Sistemas Lineares
Sistemas lineares n equações n incógnitas homogêneo: se bj=0 j , caso contrário, não homogêneo o sistema de equações pode ser representado pelo produto de matrizes: AX=B , onde
Eliminação de Gauss Reduzir o sistema para forma triangular: elimina-se x1 de E2 a En ; elimina-se x2 de E3 a En ; ...... Calcular xn a partir da última equação Fazer a substituição reversa: xn x(n-1) ....... x1
Fatoração LU A matriz A pode ser escrita como A = LU, onde L é o triângulo de baixo (lower), e U é o de cima (upper). A = L U LU A é não singular quando tem uma inversa A-1, tal que A A-1 = I Para matrizes não singulares, as linhas podem ser reordenadas e a matriz A é fatorável. I =
Métodos Doolittle: Os elementos da matriz L são os lij e os de U são os uij. Doolittle: A solução é obtida resolvendo-se em primeiro lugar L y = B e depois Ux = y A x = B = L U x = B
Cholesky: Para A positiva, definida e simétrica: A = AT x T A x>0 para todo x 0, podemos escolher U= LT (ljk = ukj). A = L LT
Métodos iterativos: A = I + L + U Para sistemas esparsos (com muitos Agora L e U tem diagonal nula! Métodos iterativos: Para sistemas esparsos (com muitos coeficientes igauis a zero) ou sistemas com grandes coeficientes na diagonal principal. Gauss-Seidel - rearranjar as equações de tal forma que os ajj = 1. Ax = (I + L + U) x = B I x = B - (L + U) x I x = x x = B - (L + U) x x(t+1) = B - L x(t+1) - U xt
Convergência: C Condição suficiente: Um método iterativo converge se || C || < 1, sendo Um método iterativo converge se a sequência x0 x1 X2 ..... x(t - 1) xt tende para um valor xt tal que r = xt - x(t - 1) é dado por |rij| < , onde é a tolerância do processo (<<1). O método de G.S. converge para todo X0 se e somente se todos os autovalores da matriz C = (I - L)-1U tiverem valores absolutos menores que 1. Se o maior autovalor for pequeno, a convergência é rápida. C