Minimização; Lema do Bombeamento.

Agenda Hoje Para as próximas aulas: Minimização de DFAs Lema do Bombeamento para Linguagens Regulares Para as próximas aulas: Leia Caps. 1.4 (Sipser)

Estados Equivalentes. Exemplo Considere os estados de aceitação c e g. Eles são ambos estados que, uma vez atingidos, nunca se sai deles, desde que se leia 0 ou 1. Q: Precisamos desses dois estados? 0,1 b c 1 0,1 1 a d e 0,1 1 1 f g

Estados Equivalentes. Exemplo R: Não, eles podem ser unificados como se mostra abaixo. Q: Existem outros estados que podem ser unificados, porque quaisquer sufixos subsequentes produzem o mesmo resultado? b 0,1 1 1 a d 0,1 e cg 1 1 f

Estados Equivalentes. Exemplo R: Sim, b e f. Note que se estamos em b ou f então: se o string termina, é rejeitado em ambos os casos se proxchar=0, aceita c/ qq sufixo em ambos os casos Se proxchar=1, rejeita c/ qq sufixo em ambos os casos Portanto, unifique b com f. b 0,1 1 1 a d 0,1 e cg 1 1 f

Estados Equivalentes. Exemplo Intuitivamente, dois estados são equivalentes se todos as computações subsequentes a partir deles são iguais. Q: Dê uma caracterização formal de equivalência entre estados. 0,1 1 a d 0,1 e cg 0,1 1 bf

Estados Equivalentes. Exemplo DEF: Dois estados q e q’ em um DFA M = (Q, S, d, q0, F ) são equivalentes (ou indistinguiveis) se, para quaisquer strings u  S*, os estados a que u leva, quando lido a partir de q ou de q’ são ambos de aceitação, ou ambos não são de aceitação. Estados equivalentes podem ser unificados em um único, sem que isso afete o comportamento de M.

Concluindo o Exemplo Q: Existem outras maneiras de simplificar o autômato abaixo? 0,1 1 a d 0,1 e cg 0,1 1 bf

Estados Inúteis R: Sim: elimine o estado d. A eliminação de estados inúteis (inatingíveis a partir do estado inicial) não altera a linguagem aceita. 0,1 a 0,1 e cg 0,1 1 bf

Algoritmo de Minimização. DEF: Um autômato é irredutível se Não contém estados inúteis, e não contém estados distintos equivalentes. O objetivo do algoritmo de minimização é criar um autômato irredutível a partir de um autômato dado. Pode-se mostrar que esse algoritmo de fato produz o menor DFA possível equivalente ao DFA original. Portanto o nome “minimização”. O algoritmo de minimização trabalha ao inverso do que vimos no exemplo anterior. Começa pelo menor número possível de estados e cria novos estados quando é forçado a isso. Vamos explicar com um jogo:

O Jogo MINIMIZAR 0. Todos os jogadores inúteis são eliminados. O jogo prossegue em rodadas. Começa com 2 times: ACEITA vs. REJEITA. Cada rodada consiste de sub-rodadas, uma para cada time. Dois membros de um time concordam se, para um dado rótulo, passam o bastão para o mesmo time. Caso contrário, discordam. Durante uma sub-rodada, membros que discordam são divididos em novos times maximais de membros concordantes entre si. O jogo TERMINA quando se passa uma rodada sem que nenhum time seja dividido.

O Jogo MINIMIZAR 0,1 b c 1 0,1 1 a d e 0,1 1 1 f g

Algoritmo de Minimização. (Refinamento da Partição) DFA minimize(DFA (Q, S, d, q0, F ) ) remova qq estado q não atingível a partir de q0 Partition P = {F, Q - F } boolean Consistent = false while (not Consistent ) Consistent = true for(every Set S,T  P e char a  S) Set temp = {q T | d(q,a)  S } if (temp != Ø && temp != T ) // S ,T não concordam Consistent = false P = (P -T ){temp, T-temp} // divide T return defineMinimizor( (Q, S, d, q0, F ), P ) Uma partição de Q é uma coleção de conjuntos disjuntos de estados de Q, cuja união é Q O método defineMinimizor é descrito no próxmo slide.

Algoritmo de Minimização. (Refinamento da Partição) DFA defineMinimizor(DFA (Q, S, d, q0, F ), Partition P ) Set Q’ = P // cada partição é um estado do autômato resultante // o estado inicial q’0 é a partição que contém q0 State q’0 = the set in P which contains q0 // F’ consiste das partições que contém apenas estados finais F’ = { S  P | S  F } // computa a nova função de transição d’ for (each S  P, a  S) define d’ (S,a) = the set T  P which contains the states d’(S,a) return (Q’, S, d’, q’0, F’ )

Minimização: Exemplo Considere o DFA

Minimização: Exemplo Versão miniatura

Minimização: Exemplo Divida em dois times. ACEITA vs. REJEITA

Minimização: Exemplo O rótulo 0 não causa divisão nos times

Minimização: Exemplo O rótulo 1 causa divisão do time maior em 2

Minimização: Exemplo Nenhuma divisão mais. TERMINOU!

Minimização: Exemplo. Resultado Os estados do autômato mínimo são os times resultantes. As transições entre esses estados são consolidadas. O estado inicial é o time que contém o estado inicial original.

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101

Minimização: Exemplo. Compare 100100101 ACEITA.

Minimização: Exemplo. Compare 10000

Minimização: Exemplo. Compare 10000

Minimização: Exemplo. Compare 10000

Minimização: Exemplo. Compare 10000

Minimização: Exemplo. Compare 10000

Minimização: Exemplo. Compare 10000 REJEITA.

Minimização: Prova O algoritmo apresentado produz um FA irredutível. Porque esse FA seria o menor FA possível que reconhece a linguagem aceita pelo FA original? Questão análoga em cálculo: Por que um mínimo local seria um mínimo global? Nem sempre é o caso!

Minimização: Prova THM (Myhill-Nerode): O algoritmo de minimização produz um autômato mínimo equivalente. Prova. Mostraremos que qq autômato irredutível é mínimo para a linguagem L que ele aceita: Dizemos que strings u,v S* são indistinguíveis se para todo sufixo x, ux L sse vx L . Note que se u ev são distinguíveis, os caminhos, a partir do estado inicial, rotulados por u e por v devem terminar em estados diferentes.

Minimização: Prova Consequentemente, o número de estados em um DFA para L deve ser pelo menos igual ao ao número de strings mutuamente distinguíveis de L. Mas um DFA irredutível tem a propriedade de que todo estado dá origem a outro string mutuamente distinguível do anterior! Portanto, qq outro DFA para L deve ter pelo menos tantos estados quantos os de um DFA irredutível.  Vejamos como essa prova funciona:

Minimização: Prova. Exemplo A “spanning tree” dos strings {e,0,01,00} é um conjunto de estados mutuamente distinguíveis (caso contrário ocorreria redundância, DFA teria sido reduzido). Qualquer outro DFA para L tem 4 estados. 0,1 a 0,1 e cg 0,1 1 bf

Lema do Bombeamento Motivação Considere a linguagem L1 = 01* = {0, 01, 011, 0111, … } O string 011 é dito bombeável em L1 porque podemos tomar a porção sublinhada e bombeá-la (repeti-la) tantas vezes quanto se queira, obtendo sempre strings em L1. Q: Quais dos seguintes strings são bombeáveis? 01111 01 Now it’s time to pump…

Lema do Bombeamento Motivação Bombeável: 01111, 01111, 01111, 01111, etc. Bombeável: 01 0 não bombeável Seja L2 a linguagem definida pelo autômato: Q: 01010 é bombeável? Now it’s time to pump… 1

Lema do Bombeamento Motivação A: Bombeável: 01010, 01010. Os substrings sublinhados correspondem a ciclos no FA! Ciclos do FA podem ser repetidos um no. de arbitrário de vezes: bombeamento. Seja L3 = {011,11010,000, e} Q: Que strings são bombeáveis? 1 Now it’s time to pump…

Lema do Bombeamento Motivação A:Nenhum! Quando um string pode ser bombeado (de modo não trivial), é sempre possível obter infinitos possíveis strings por meio desse bombeamento. Portanto, linguagens finitas não satisfazem a propriedade de bombeamento. O Lema do Bombeamento provê um critério para quando strings podem ser bombeados: Now it’s time to pump…

Lema do Bombeamento THM: Dada uma linguagem regular L, existe um número p (número de bombeamento) tal que qualquer string em L de comprimento  p é bombeável nos seus p primeiros simbolos. Em outras palavras, para todo u  L, tal que |u |  p, podemos escrever: u = xyz (x é um prefixo, z é umsufixo) |y |  1 (a parte do meio y é não vazia) |xy|  p (bomb. nos p primeiros simbolos) xyiz  L for all i  0 (a partey pode ser bombeada) Finite languages seem to present a problem as in a finite language no string is pumpable! Here, a close reading of the Theorem comes to the rescue. For finite languages you can Always choose p to be 1 more than the maximal length. For example, in the language {011101,10101,0,10001010010} set p = 12. It is vacuously true that any string for length 12 or more is pumpable since there are no strings of that length!

Lema do Bombeamento: Prova EX: Mostre que pal={xS*|x =x R} não é regular. Suponha pal regular Então ela tem um no. de bombeamento p Mas… considere o string 0p10p. Esse string pode ser bombeado nos p primeiros símbolos? A resposta é NÃO, porque qualquer aumento da primeira porção - 0p- resulta em um string que não é um palindromo. (2)(3) <contradição!> Portanto, nossa suposição (1) está errada e podemos concluir que pal não é uma linguagem regular

Lema do Bombeamento: Modelo De modo geral, para provar que L não é regular: Suponha L regular Então L tem um no. de bombeamento p Encontre um padrão de string envolvendo p, que pertença a L, e que não possa ser bombeado. Essa é a parte difícil. (2)(3) <contradição!> Portanto, a nossa suposição em (1) está errada e podemos concuir que L não é regular.

Lema do Bombeamento: Exemplo Como as partes 1, 2 e 4 são idênticas para qualquer prova usando o lema do bombeamento, os exemplos a seguir mostram apenas a parte 3 da prova.

Lema do Bombeamento: Exemplo EX: Mostre que L={a nb n| n = 0,1,2, … } não é regular. Parte 3) Considere a pb p. Por hipótese, a parte a ser bombeada deve estar contida nos p primeiros símbolos do string. Nesse caso, obteríamos um string com mais a’s do que b’s, que não corresponde ao padrão de strings de L.

Lema do Bombeamento: Exemplo Algumas vezes pode ser útil bombear para menos e não para mais, ou seja, simplesmente remover a parte y do padrão do string. Isso corresponde a tomar i = 0 no lema do bombeamento: EX: Mostre que {a mb n| m > n} não é regular. Part 3) Considere a p+1b p. Por hipótese, podemos bombear p/ menos um substring das p primeiras letras desse string. Como y é não vazio, isso resulta em um decréscimo do número de a’s no padrão, significando que o no. de a’s é menor ou igual ao no. de b’s. Portanto, o string resultante não pertence à linguagem!

Lema do Bombeamento: Exemplo Algumas vezes precisamos examinar o resultado do bombeamento com mais cuidado: EX: Mostre que {1n| n é primo} não é regular. Part 3) Dado p, escolhemos um número primo n maior que p. Considere 1n. Por hipótese, podemos bombear um substring dos p primeiros simbolos de 1n. Seja m o comprimento da parte bombeada. Bombeando i vezes, obtemos o string 1(n-m)+im =1n+(i-1)m. Q: Determine i de modo que o expoente não seja um número primo.

Lema do Bombeamento: Exemplo A: Tome i = n + 1. Então o string resultante do bombeamento é 1n+(i-1)m =1n+(n+1-1)m =1n+nm=1n(1+m) Portanto, o expoente não é um número primo (porque é divisível por n e por 1+m), significando que o string não pertence à linguagem.

Lema do Bombeamento: Prova Considere um grafo com n vértices. Suponha que você anda pelo grafo, visitando um certo número de vértices. Q: Quantos vértices você pode visitar, antes de ser forçado a visitar um mesmo vértice uma segunda vez?

Lema do Bombeamento: Prova A: Se voce visita n+1 vértices, necessariamente terá que visitar um deles mais de uma vez. Q: Porque?

Lema do Bombeamento: Princípio da Casa dos Pombos R: Princípio da Casa dos Pombos. Mais precisamente. Sua visita a n+1 vértices define a seguinte função: f : {1, 2, 3, … , n+1}  {conj. card. n } f (i ) = i-ésimo vértice visitado Como o domínio é maior que o codomínio, a função não pode ser injetora.

Lema do Bombeamento: Prova Considere agora o string aceito u. Como L é regular por hipótese, seja M o FA que aceita L. Seja p = |Q | = no. de estados de M. Suponha |u|  p. O caminho rotulado por u visita p+1 estados nos primeiros p símbolos. Então u deve visitar algum estado mais de uma vez. O sub-caminho de u conectando a primeira e a segunda visita a esse vértice é um loop, e nos dá a parte y que pode ser bombeada (contida nos p primeiros símbolos) Exercícios Sipser pag. 84: 1.17, 1.18