BCC 101– Matemática Discreta Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 BCC 101– Matemática Discreta Predicados, Quantificadores

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Lógica de Predicados Considere o seguinte argumento: H1: Todo homem é mortal H2: Sócrates é homem C: Sócrates é mortal Esse parece ser um raciocínio válido. Como podemos representá-lo? H1, H2 ⊢ C Vemos que não é possível deduzir C de H1 e H2, usando a lógica proposional…. mas o argumento parece correto

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Lógica de Predicados A lógica proposcional não é capaz de representar adequadamente informações contendo “todos”, “algum”, “somente um” … Afirmações desse tipo ocorrem frequentemente em matemática: Todo número primo, exceto 2, é impar Todo múltiplo de 4 é par Todo número inteiro maior que 1 ou é primo ou é um produto de primos

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Lógica de Predicados A Lógica de Predicados estende a Lógica proposicional, possibilitando abstração e quantificação sobre variáveis. Considere as seguintes proposições: 2 é primo 3 é primo 4 é primo Vamos estender nossa linguagem da lógica de modo que possamos escrever: P(x) : x é primo P(2) P(3) P(4) P(x) é um predicado

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 O que é um Predicado? Um predicado especifica uma propriedade de um objeto ou uma relação entre objetos: P(x) : x é um número primo D(x,y) : x é divisível por y Um predicado pode ser visto como uma coleção parametrizada de proposições Uma proposição diferente para cada combinação de valores para as variáveis Universo de discurso: valores que as variáveis podem ter P(x) = x é primo Universo de discurso: N = {0,1,2,…} Qual o significado de P(3) ? E de P(10) ? D(x,y) = x é divisível por y Universo de discurso: N x N Qual o significado de D(10,4) ? D(10,2)? D(12,3) ?

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma Exemplos 3/25/2017 Analise a forma lógica das seguintes sentenças: x é um número primo e y ou z é divisível por x P(x)  ( D(y,x)  D(z,x) ) x é homem e y é mulher e x gosta de y, mas y não gosta de x H(x)  M(y)  G(x,y)   G(x,y) O quadrado de x é menor que 9 e maior que 3 x2 < 9  x2 > 3 Note que y  { x | x2 < 9 } é o mesmo que y2 < 9

 — Quantificador Universal, Para todo Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017  — Quantificador Universal, Para todo x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é uma fórmula x.f(x) é verdadeira se f(x) é verdadeira para todo valor de x no universo de discurso x.f(x) é falsa se existe algum valor de x no universo de discurso para o qual f(x) é falsa É equivalente a formar o E lógico de todos os f(x)’s

 — Quantificador Universal, Para todo Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017  — Quantificador Universal, Para todo Exemplo – Seja P(x) = x é primo Considere o universo de discurso {2, 5, 17} x.P(x) é equivalente a P(2)  P(5)  P(17) x.P(x) é verdadeiro Suponha que o universo de discurso é todo o conjunto de números naturais: {0,1,2,3,4, … } Existem valores que x pode assumir no universo de discurso, para os quais P(x) é falso: por exemplo, P(4) é falso Portanto, x.P(x) é falso

 — Quantificador Existencial, Existe Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017  — Quantificador Existencial, Existe x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é uma fórmula. x.f(x) é verdadeira se existe pelo menos um valor de x no universo de discurso para o qual a fórmula f(x) é verdadeira. x.f(x) é falsa se x.f(x) é verdadeira. É equivalente a formar o Ou Lógico de todos os f(x)’s

 — Quantificador Existencial, Existe Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017  — Quantificador Existencial, Existe Exemplo – Seja H(x) = x é homem Considere o universo {Maria, Paulo, João} x.H(x) é equivalente a H(Maria)  H(Paulo)  H(João) x.H(x) é verdadeira Considere que um universo que consiste apenas de mulheres Nesse caso, não existe nenhum valor de x para o qual P(x) é verdadeiro Portanto, x.H(x) é falso

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Universo Vazio Qual o significado de x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é verdadeira Isso é compatível com o fato de que o  é uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true. Qual o significado de ∃x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é falsa Isso é compatível com o fato de que o ∃ é uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Exercícios Seja P(x) = x == x2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir: P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y) x.P(x) x.P(x) x. P(x)

Fórmulas com vários quantificadores Seja N o universo de discurso N = {0, 1, 2, 3, … } e seja R (x,y ) = “x < y”. Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número maior y Verdadeiro ou falso? Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x

Quantificadores aninhados Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Quantificadores aninhados Fórmula Quando é verdadeira Quando é falsa x. y. P(x,y) y. x. P(x,y) P(x,y) é verdadeira, para todo par de valores (x,y) Existe um par de valores (x,y) para o qual P(x,y) é falso x. y. P(x,y) Para cada x existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro Existe um x para o qual P(x,y) é falso, para todo y y. x. P(x,y) Existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro para todo x Para todo y existe um x tal que P(x,y) é falso x. y. P(x,y) y. x. P(x,y) Existe um par (x,y) tal que P(x,y) é verdadeiro P(x,y) é falso para todo par de valores (x,y)

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Exercícios Traduza as seguintes frases para fórmulas da Lógica de Predicados, supondo: G(x,y) = x gosta de y João gosta de todo mundo Todo mundo gosta de João Maria gosta de alguém Maria não gosta de ninguém João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta Todo mundo gosta de alguém Ninguém gosta de todo mundo

Variáveis livres e variáveis ligadas Lecture 11 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Variáveis livres e variáveis ligadas Uma ocorrência de variável em uma fórmula é dita livre, se ela não ocorre no escopo de nenhum quantificador. Caso contrário, a ocorrência da variável é dita ligada. (x. (∃y. G(x,z)  H(y))) x e y são variáveis ligadas e z é uma variável livre (x. F(x, y)  G(y))  K(x) a ocorrência de x em F(x,y) é ligada e em K(x) é livre O significado de uma fórmula depende apenas do significado de suas variáveis livres

Variáveis livres e ligadas 11/28/06 Variáveis livres e ligadas variáveis ligadas podem ser renomeadas sem que isso altere o valor da expressão (∀x. x > 0 ∨ x < 0 ⇒ x2 > 0) = (∀y. y > 0 ∨ y < 0 ⇒ y2 > 0) um nome de variável ligada pode ser reusado em diferentes escopos: (∀k . 0 ≤ k < 3 ⇒ k ≤ 2)∧(∃k .1 ≤ k < 5 ⇒ k2 = 4) Variáveis ligadas funcionam como variáveis locais em um programa. A primeira ocorrência corresponde a uma declaração da variável, o escopo da declaração é limitado por 〈 〉 Isso significa que nomes de variáveis ligadas podem ser reusados em diferentes escopos BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica de Predicados – sintaxe formal 11/28/06 Lógica de Predicados – sintaxe formal A sintaxe da linguagem da Lógica de Predicados é dividida em 2 categorias: Termos: denotam objetos do universo de discurso Fórmulas: denotam valores lógicos (T ou F) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica de Predicados – termos 11/28/06 Lógica de Predicados – termos O conjunto de termos T é definido como: Seja V um conjunto de variáveis que denotam objetos do universo de discurso. Então V ⊆ T; Seja c uma constante que denota um objeto do universo de discurso. Então c ∈T; Seja f uma função n-ária sobre termos, e sejam t1, … tn termos. Então f(t1,…,tn) ∈ T BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica de Predicados – termos 11/28/06 Lógica de Predicados – termos Seja um universo que consiste de todos os estados e cidades brasileiras. Então Ouro Preto é uma constante que representa um objeto desse universo. Se capital é uma função que retorna a capital de um estado, então capital(Minas Gerais) representa o mesmo que Belo Horizonte. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica de Predicados – fórmulas 11/28/06 Lógica de Predicados – fórmulas O conjunto de termos F é definido como: true, false ∈ F ; Se p é um predicado n-ário e sejam t1, … tn termos. Então p(t1,…,tn) ∈ F Se f ∈ F então ¬f∈ F Se f1, f2 ∈ F então f1 ∘ f2∈ F, onde ∘ ∈ {∧,∨, ➝, =} Se x∈V e f ∈ F então ∀x.f∈ F e ∃x.f∈ F BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica de Predicados – Semântica 11/28/06 Lógica de Predicados – Semântica Para dar semântica para uma fórmula devemos interpretá-la de acordo com o universo de discurso. ∃x.∀y. M(x,f(y)) é verdadeira? Qual é o universo de discurso? Qual é a interpretação para a função f? Qual é o significado do predicado M? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Exercícios Seja Q(x,y) = x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir: Q(1,1) P(2,0) y.Q(1,y) x.Q(x,2) y.Q(2,y) x.Q(x,y) ? x. y. Q(x,y) x. y.Q(x,y) x. y. Q(x,y) y. x. Q(x,y) y. x. Q(x,y) x. y. Q(x,y)

Lecture 9 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Exercícios Considere o universo de discurso N e os seguintes predicados e funções: par(x): x é um número par impar(x): x é um número impar s: N -> N retorna o sucessor do número dado Qual é o valor verdade das seguintes fórmulas: ∀n. par(n) ∨ impar(n) ∀n. par(n) ➝ impar(s(n)) ¬∃n. par(n) ∧ impar(n)

O Arquipélago dos Knights e Knaves Abercombie visitou uma vez o arquipélago de ilhas dos Knights e Knaves, onde todos os Knights sempre falam verdade e todos os Knaves sempre mentem. Na primeira ilha que Abercombie visitou, todos os habitantes disseram a mesma coisa: "Todos nós desta ilha somos do mesmo tipo". O que você pode concluir sobre o tipo dos habitantes da ilha? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page