Revisão Unidade 2 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Informática Anjolina Grisi de Oliveira

Centro de Informática / UFPE Relações O que é uma relação em um conjunto? Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S Em outras palavras, é um subconjunto de S  S O que é uma relação reflexiva? - Uma relação R em um conjunto S é chamada de reflexiva se (s,s)  S para todo elemento s  S. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Relações O que é uma relação simétrica? Uma relação R em um conjunto S é chamada simétrica se (b,a)  R toda vez que (a,b)  R, para a,b  S. Em outras palavras: Se (a,b)  R → (b,a)  R. O que é uma relação anti-simétrica? - Uma relação R em um conjunto S é chamada anti-simétrica se quando (a,b)  R e (b,a)  R então a = b, para a,b  S. - Se (a,b)  R Λ (b,a)  R → a = b. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Relações O que é uma relação transitiva? Uma relação R em um conjunto S é chamada transitiva se toda vez que (a,b)  R e (b,c)  R, então (a,c)  R, para a,b,c  S. Se (a,b)  R Λ (b,c)  R → (a,c)  R. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplos Defina uma relação no conjunto {1,2,3,4} que seja: a) reflexiva, simétrica e não seja transitiva. R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)} b) simétrica, transitiva, e não reflexiva R={(1,1)} c) reflexiva, anti-simétrica e não transitiva. R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)} d) reflexiva, simétrica e transitiva R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} e) reflexiva, anti-simétrica e transitiva Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Relações Explique como uma matriz de bits pode ser usada para representar uma relação em um conjunto finito S. Liste os elementos de S em uma ordem arbitrária: {s1,s2,...,sn} A relação R pode ser representada pela matriz MR = [mij] onde: [mij] = 1, se (si,sj)  R [mij] = 0, se (si,sj)  R S={1,2,3} e R={(1,2),(2,2),(3,1)} Ordem: {1,2,3} 0 1 0 1 0 0 Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Relações Explique como uma matriz de bits que representa uma relação em um conjunto finito S pode ser usada para determinar se a relação é reflexiva, simétrica, e anti-simétrica. Reflexiva: se todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 Simétrica: se a matriz for igual a sua transposta Anti-simétrica: para i  j, se [mij] = 1 então [mji] = 0. Ou em outras palavras, quando i  j, ou [mij] = 0 ou [mji] = 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 Reflexiva e anti-simétrica Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Relações de Equivalência O que é uma relação de equivalência em um conjunto? É uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva Que relações no conjunto {a,b,c,d} são relações de equivalência e contêm os pares (a,b) e (b,d) ? R1={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)} R2={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)(a,c),(c,a),(b,c),(d,c),(c,b),(c,d),} Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Relações de Equivalência O que acontece com um conjunto onde é definida uma relação de equivalência ? É criada uma partição no conjunto Dê um exemplo de uma relação de equivalência em um conjunto e identifique o conceito de classes de equivalência, relacionando-o com a noção de partição. Seja S o conjunto dos inteiros positivos R = { (x,y) | x  y (mod 4) } Existem quatro classes de equivalência: quando o resto da divisão for 0, 1, 2 ou 3 Cada classe de equivalência é um subconjunto da partição de S. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordens Parciais O que é uma ordem parcial É uma relação em um conjunto que tem as seguintes propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. Reflexiva: z  Z+, z|z Anti-simétrica: Sejam, a,b,m e n  Z+, se a|b e b|a → a.m = b e b.n = a → a.m.n = a → m=n=1 → a=b Transitiva: Sejam, a,b,c,m e n  Z+, se a|b e b|c → a.m = b e b.n = c → a.m.n = c → a|c, pois a operação de multiplicação é fechada em Z+. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordens Parciais O que é conjunto parcialmente ordenado? É um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S,R) Também chamamos de poset (do inglês: partially ordered set) Usamos a notação (S,) para falarmos de um poset arbitrário Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Por quê o nome ordem parcial? Em (P(Z),), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa Em (Z+,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice-versa Os elementos a e b em um poset (S,) são chamados de comparáveis se ou a  b ou b  a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Se (S,) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e  é chamada de ordem total ou linear. Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia O poset (Z,  ) é uma cadeia O poset (Z+,|) não é totalmente ordenado Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordem Lexicográfica As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto. Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,1) e (B, 2) A ordem lexicográfica  em A  B é definida da seguinte forma: (a1,b1)  (a2,b2) se ou a1 <1 a2 ou a1 = a2 e b1 <2 b2 A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A  B Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo Seja o poset (ZZ, ), onde  é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual  no conjunto dos inteiros. Determine se (3,5) < (4,8); (3,9)<(3,10); (6,8) < (6,9) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets: (A1, 1), (A2, 2)...,(An, n). Defina a ordem parcial em A1A2...An por: (a1,a2,...,an) < (b1,b2,...,bn) Se a1<1b1ou se existe um inteiro i>0 t.q. a1=b1...ai=bi e ai+1<i+1 bi+1. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordem lexicográfica de cadeias Considere as cadeias distintas a1a2...am e b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S; Seja t o menor dentre m e n a1a2...am < b1b2...bn se e somente se (a1,a2...,at ) < (b1,b2...,bt ) ou (a1,a2...,at) = (b1,b2...,bt) e m<n Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo Suponha que (S,1) e (T, 2) são conjuntos parcialmente ordenados. Mostre que (S  T, ) é um conjunto parcialmente ordenado onde (s,t)  (u,v) se e somente se s 1 u e t 2 v. Reflexiva: (s,t)  S  T, (s,t)  (s,t) pois s 1 s e t 2 t Anti-simétrica: se ((s,t),(u,v))   e ((u,v),(s,t))   → s 1 u , t 2 v, u 1 s e v 2 t → s = u e t = v → (s,t) = (u,v) Transitiva: se ((s,t),(u,v))   e ((u,v),(w,z))   → s 1 u , t 2 v, u 1 w e v 2 z → s 1 w e t 2 z → ((s,t),(w,z))   Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Diagrama de Hasse Desenhe o diagrama de Hasse para ({2,3,5,9,12,15,18},|) 18 Elementos maximais? 15 12,15 e 18 9 12 Elementos minimais ? 2,3,5 2 3 5 Maior elemento? Menor elemento? Não Não Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Elementos Maximais e Minimais 20 12 10 4 25 5 2 Seja um poset (S,). O elemento a é maximal nesse poset se não existe b  S de forma que a < b. O elemento a é minimal nesse poset se não existe b  S de forma que b < a. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Maior elemento/ Menor elemento a é o maior elemento no poset (S, ) se b  a para todo b  S a é o menor elemento no poset (S, ) se a  b para todo b  S Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Limitante superior/inferior Seja A um subconjunto do poset (S, ). Se u  S e a  u para todo a  A, então u é chamado de limitante superior de A. Se i  S e i  a para todo a  A, então i é chamado de limitante inferior de A. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Limitante superior/inferior Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a,b,c}, {j.h} e {a,c,d,f} do seguinte poset. h j g f e d b c a De {a,b,c}: sup= {e,f,h,j}; inf={a} De {j,h}: sup=; inf={f,d,e,b,c,a} De {a,c,d,f}: sup={f,j,h}; inf={a} Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Supremo e ínfimo Supremo: o menor dos limitantes superiores Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores Quando existem são únicos Qual o supremo e o ínfimo de {b,d,g} do poset do exemplo anterior? Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Reticulados Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado f d e c b a O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE