Análise Combinatória Slides Fatorial Princípio fundamental da contagem Permutação simples Permutação com repetição Arranjos simples Combinações simples Números binomiais Xadrez - www.ser.com.br Triângulo de Pascal Binômio de Newton

Fatorial Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: - Para n=0: 0!=1 - Para n=1: 1!=1 - Para n=2: 2!=21=2 - Para n=3: 3!=321=6 - Para n=4: 4!=4321=24 - Para n=5: 5!=54321=120 Generalizando: n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.

Princípio fundamental da contagem ou princípio da multiplicação bife massa torta frango peixe Acompanhe o raciocínio da resolução do problema a seguir: Uma pessoa vai a um restaurante e na promoção ela deve montar a sua refeição escolhendo uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. No cardápio constam 3 tipos de entradas, 5 tipos de pratos quentes e 4 tipos de sobremesa. De quantas formas diferentes essa pessoa pode montar a sua refeição? bolo fruta mousse pudim salada sopa patês A quantidade de refeições é obtida multiplicando-se todas as possibilidades. Sendo assim: 3  5  4 = 60 refeições 3 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades

Permutação simples Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos. Observe os exemplos: 1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 3, 5 e 7? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo. As possibilidades são: 357, 375, 537, 573, 735 e 753. Podemos representar também em um “diagrama de árvore”: 5 7 3 7 5 3 7 5 7 3 3 5 7 5 3 Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 3  2  1 = 6 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade

Permutação simples u l z l u z l a u l z z u l u z a l u a l z u l a 2) Quantos anagramas existem da palavra azul? Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo “diagrama de árvores”. Observe: u l z l u z l a u l z z u l u z a l u a l z u l a a u l u a a l z u z l a a z l z a u z a z u l z u a u z a Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 4  3  2  1 = 24 possibilidades Permutação simples Concluímos que para n termos a expressão ficaria: Pn = n  (n – 1)  (n – 2)  ...  2  1 = n!

Permutação com repetição É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição. Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”. Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o raciocínio: Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática, P1 é o número de letras “m” que são repetidas, P2 é o número de letras “a” repetidas e P3 é o número de letras “t” repetidas. Generalizando:

Arranjo simples Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes importa. Assim temos a relação: Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras? 1º modo de resolver: 2º modo de resolver:

Combinações simples Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes não importa. Assim temos a relação: Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes poderá ser formado o grupo para a reunião?

Números binomiais Chama-se número binomial o número com tal que, (n é o numerador e p é a classe do número binomial). Números binomiais iguais: Se, então:

Triângulo de Pascal É uma forma de dispor números binomiais. Observe a sequência: ou onde + De modo geral:

Triângulo de Pascal Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal: :

Triângulo de Pascal + Outras propriedades: +

Triângulo de Pascal + Outras propriedades: + +

Binômio de Newton Exemplo: Toda potência da forma (x+y)n, sendo n um número natural, é conhecido como binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns. Para desenvolver estes binômios, podemos generalizar como segue: Exemplo:

Binômio de Newton Termo geral do binômio de Newton é o desenvolvimento de apenas um dos termos de todo o desenvolvimento. Assim...