O que você deve saber sobre Mat-cad2-top-2 –3 Prova O que você deve saber sobre ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória fornece ferramentas fundamentais para determinar a quantidade de elementos em um dado conjunto. Nesse sentido, tendo como objetivo o conhecimento do todo, ela precede a probabilidade e a estatística. 1

Mat-cad2-top-2 –3 Prova I. Contagem Árvore de possibilidades: uma escolha, ou evento, abre duas ou mais possibilidades para outra escolha, ou evento, subsequente. Princípio multiplicativo Considere um fenômeno que seja resultado de dois eventos (ou duas escolhas) A e B, que ocorrem sucessivamente e de modo independente. Se o evento A pode ocorrer de n maneiras diferentes e se, para cada uma dessas possibilidades, o evento B pode ocorrer de m maneiras diferentes, então, a quantidade de maneiras diferentes que o fenômeno pode ocorrer é igual ao produto m . n. ANÁLISE COMBINATÓRIA

Mat-cad2-top-2 –3 Prova II. Permutação Simples: sequência ordenada e formada pelos n elementos de um conjunto em que não há elementos repetidos. Exemplos: A geração de anagramas com as letras de uma palavra formada por letras distintas, duas a duas. As configurações de pessoas em filas ou mesas. Para um conjunto de n elementos distintos, o número Pn de permutações simples e possível de fazer com os n elementos: Pn = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .... . 3 . 2 . 1  Pn = n! ANÁLISE COMBINATÓRIA 3

II. Permutações Com repetição Mat-cad2-top-2 –3 Prova II. Permutações Com repetição O número total de permutações é inferior àquele que se poderia fazer, caso todos os elementos fossem diferentes. Os elementos repetidos geram sequências idênticas, o que reduz o número total de possibilidades distintas. O número de permutações em um conjunto com n elementos, sendo n1 a quantidade de elementos repetidos de um tipo 1, n2 a quantidade de elementos repetidos de um tipo 2, ... e nk a quantidade de elementos repetidos de um tipo k, é: ANÁLISE COMBINATÓRIA 4

II. Permutações Circulares Mat-cad2-top-2 –3 Prova II. Permutações Circulares Os n elementos do conjunto são dispostos numa determinada ordem em torno de um círculo ou em uma tal configuração que, uma vez percorridos todos os elementos do conjunto, retorna-se ao início. Ex.: a disposição de convidados em torno de uma mesa. Não há nem primeira nem última posição. Observe a disposição de 5 letras em um círculo: Mantendo-se a sequência ABCDE, podemos gerar mais duas posições por rotação. ANÁLISE COMBINATÓRIA 5

II. Permutações Circulares Mat-cad2-top-2 –3 Prova II. Permutações Circulares Nas permutações circulares de n elementos de um conjunto, o número de possibilidades diferentes, indicado por PCn, é dado por: Representação das figuras geradas pelo traçado das diagonais de diversos polígonos, um problema clássico de geometria plana. Os vértices desses polígonos servem de elementos em permutações circulares. ANÁLISE COMBINATÓRIA 6

Mat-cad2-top-2 –3 Prova III. Arranjos São configurações ordenadas de alguns elementos de um conjunto em que a quantidade de elementos é menor que a quantidade de elementos do conjunto original ou igual a ela. Num conjunto com n elementos, se fizermos arranjos de p elementos, estaremos arranjando n elementos tomados p a p. Número total de elementos: Possibilidades de arranjos circulares com quatro elementos ANÁLISE COMBINATÓRIA 7

IV. Combinações simples Mat-cad2-top-2 –3 Prova IV. Combinações simples São subconjuntos formados por elementos de um conjunto em que a ordem dos elementos não importa. Por isso devemos descontar do total aquelas combinações que possuem os mesmos elementos, em ordens diferentes. Como nos arranjos, dos n elementos de um conjunto fazemos combinações com p elementos; dizemos então que fazemos combinações de n elementos, tomados p a p: Número de combinações possíveis nessas condições: ANÁLISE COMBINATÓRIA 8

a  a  b  b  b a  b  a  b  b a  b  b  a  b Mat-cad2-top-2 –3 Prova V. O binômio de Newton O desenvolvimento das potências da soma de duas parcelas, tais como (a + b)n, leva a expressões que são somas de parcelas de produtos da forma ak . bn - k acompanhadas de coeficientes inteiros. Por ex., se fizermos (a + b)5, teremos parcelas com todas as combinações possíveis de expoentes no produto entre a e b, de 0 a 5, com soma sempre igual a 5: Os coeficientes de cada parcela correspondem às combinações possíveis de fazer com os valores dos expoentes das duas parcelas. Ex.: as possibilidades para o coeficiente de a2b3 são, entre outras: a0b5, a1b4, a2b3, a3b2, a4b1, a5b0 a  a  b  b  b a  b  a  b  b a  b  b  a  b ANÁLISE COMBINATÓRIA 9

Número de combinações possíveis: Mat-cad2-top-2 –3 Prova V. O binômio de Newton Número de combinações possíveis: 5 é n, o expoente da potência da soma que queremos efetuar. 2 é o expoente de a. A quantidade de parcelas iguais em a2b3 é 10. Os chamados coeficientes do binômio de cada um dos termos de ak . bn - k no desenvolvimento de (a + b)n são dados por: ANÁLISE COMBINATÓRIA 10

Mat-cad2-top-2 –3 Prova V. O binômio de Newton Podemos encontrar os coeficientes do binômio nas linhas do chamado triângulo de Pascal. A linha de ordem n guarda os coeficientes do binômio de grau n, n  0 e n  . ANÁLISE COMBINATÓRIA 11

Determine o valor da soma a seguir: Mat-cad2-top-2 –3 Prova 2 (Ufal) Determine o valor da soma a seguir: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 12

RESPOSTA: 3 Mat-cad2-top-2 –3 Prova (UFC-CE) Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas em que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes, são consideradas distintas). EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 13

a) 928. b) 1.152. c) 1.828. d) 2.412. e) 3.456. RESPOSTA: E 6 Mat-cad2-top-2 –3 Prova 6 (Fuvest-SP) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a: a) 928. b) 1.152. c) 1.828. d) 2.412. e) 3.456. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: E ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 14

RESPOSTA: 8 Mat-cad2-top-2 –3 Prova (Ufla-MG, adaptado) Um problema clássico em combinatória é calcular o número de maneiras de colocar bolas iguais em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia. Sugestão: Na figura acima, a título de exemplo, aparece uma distribuição possível, com 2 bolas na caixa 1, 3 bolas na caixa 2 e 2 bolas na caixa 3. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 15

a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? Mat-cad2-top-2 –3 Prova 9 (Unesp) Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se: a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 16

a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; Mat-cad2-top-2 –3 Prova 11 1 (Uerj) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: • um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; • um dentre os tamanhos: pequeno e grande; • de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Calcule: a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 17

Mat-cad2-top-2 –3 Prova 12 1 (UFC-CE) Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a) Dentre todos os números naturais com 4 dígitos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4. b) Dentre todos os números naturais com 3 dígitos distintos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3. RESPOSTA: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 18

Mat-cad2-top-2 –3 Prova 16 1 (UFBA) Numa disputa entre três times, estabeleceu-se que: • cada time jogaria duas vezes contra cada um dos outros dois, sendo uma partida no seu próprio estádio e outra no estádio do adversário; • cada time ganharia dois pontos por vitória e um ponto por empate, não marcando ponto em caso de derrota; • ao final das seis partidas, em que estará em disputa um total de 12 pontos, o campeão seria o time que acumulasse o maior número de pontos. Um dos times somou três pontos nas partidas realizadas no próprio estádio, e outro empatou todas as partidas que disputou. Sabendo que, ao final de todas as partidas, os times ficaram com pontuações distintas e que a pontuação do campeão foi um número par, determine o produto das pontuações finais dos três times. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: Sejam A, B e C os times em questão. O time A somou 3 pontos em 2 partidas realizadas no próprio estádio; logo, ganhou uma e empatou outra. O time C empatou todas as partidas que disputou (2 com A e 2 com B); logo, somou 4 pontos. O time B perdeu para A a partida que disputou no estádio deste. Não ganhou nem empatou a outra, pois nesses casos haveria empates de pontuação; logo, perdeu e somou apenas 2 pontos nos empates com C. Portanto, 6 . 4 . 2 = 48. ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR 19