Equações algébricas Professor Neilton

Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem: Curiosidades sobre o número Pi Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem: "Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência." sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

Equações Algébricas Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0.

Teorema Fundamental da Álgebra Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, admite pelo menos uma raiz real ou complexa OBS: Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a sua solução direta.

P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3) Fazendo an = 1, temos que: Exemplo: Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4 Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma: P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3) Fazendo an = 1, temos que: P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4) P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8

Multiplicidade de uma raiz Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x). Exemplo: Se P(x) = (x-1)2.(x-3) Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples

Teorema das raízes complexas Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade. Conseqüência Num polinômio P(x) com coeficientes reais e grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real

Dica do professor: Quando a equação não tem termo independente (sem variável), a quantidade de raízes nulas é igual ao expoente de menor grau. Na letra a por exemplo o termo 4x2 é o de menor expoente. Portanto 2 raízes nulas.

05. Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e x3. Sobre a raiz x3, podemos afirmar: a) pode ser um número complexo b) é necessariamente, um número natural c) é necessariamente um número inteiro d) é necessariamente um número irracional e) é um número real Resposta: Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par, já que, se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz. Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela será necessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.

Questão 06 Determinar m para que a soma das raízes da equação 4x4 – (m – 1)x3 + 2x2 – 5x + 4 = 0 seja igual a 2. RESOLUÇÃO: X1 + X2+X3+X4= -a1/a0 (soma das raízes) a1= – (m –1) X1 + X2+X3+X4= (m-1)/4 (m-1)/4=2 (m – 1)=4.2 m =8+1 RESPOSTA: m = 9

Questão 07 Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e são raízes.

– 2 2 – 1 – 4 10 – 4 P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0 2 – 5 6 – 2 0 2 – 1 – 4 10 – 4 2 – 5 6 – 2 0 3 4

P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0 1/2 2 – 5 6 – 2 2 – 4 4 0 3 4

2x2 – 4x + 4 = 0 ou x2 – 2x + 2 = 0

Questão 07 Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e são raízes.

Questão 08 Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação? P(1) = 0  2.13 – (m + 3) 12 + 11 .1 – m = 0 2 – (m + 3) + 11– m = 0  – m – 3 + 13– m = 0 – 2m + 10 = 0 2m = 10  m = 5 1 2 – 8 11 – 5 2 – 6 5

2x2 – 6x + 5 = 0

Questão 09 A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é igual a: a) -3/4 b) -1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 2 RESOLUÇÃO: A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é: X1+X2+X3= –a1/a0 X1+X2+X3= –(-2)/1 RESPOSTA: letra E

Questão 10 A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. Encontre as outras duas. 1 2 – 5 1 2 2 – 3 – 2 2x3 – 3x – 2 = 0

Questão 11 (UEPG-PR) Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é: a) 2/3 b) -1 c) 4/3 d) -3/4 e) 1

Questão 12 (UEL-PR) Se – 2 é uma das raízes da equação x3 + 4x2 + x + k = 0, onde k  R, o produto das outras duas raízes dessa equação é: a) –3 b) –2 c) –6 d) 3 e) 6 P(-2) = 0  (-2)3 + 4(2)2 + (–2)+ k = 0  -8 + 16 – 2 + k = 0  K = – 6  x3 + 4x2 + x – 6 = 0

13. ( UEFS )– Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2 é igual a 44, então n é igual a (01) 2 (02) 3 (03) 4 (04) 5 (05) 6 SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do resto, que o resto da divisão do polinômio P(x) por x – a é igual a P(a). Logo, com os dados do problema, podemos escrever: P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30 \ 64 = 2.2n \ 2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos leva à alternativa (04).

P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 2 3 – 5 1 – 2 3 1 3 4

x1x2x3 = –a3/a0a . a . a = a3 = – 8 a = –2 Em (I), com a = –2: Questão 14 Determinar m, de modo que a equação x3 + mx2 + 12x + 8 = 0 tenha as três raízes iguais. a0 = 1 a1 = m a2 = 12 a3 = 8 x1 = x2 = x3 = a Girard: x1 + x2 + x3 = – a1/a0 a + a + a = – m/13a = –m (I) x1x2 + x2x3 + x1x3 = a2/a0 a . a + a . a + a . a =3a2/1 3a2 = 12 a2 = 4a=+-2 (II) x1x2x3 = –a3/a0a . a . a = a3 = – 8 a = –2 Em (I), com a = –2: -m=3.(-2) m=6

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Estudo da reta e Área do triângulo Geometria Analítica

PLANO CARTESIANO

1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.

1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P

EXERCÍCIO 01 Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m. Solução:  Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.  Logo, no caso teremos: 2m - 16 = 0, de onde tiramos m = 8 o ponto ficaria P = ( 0, 8)

EXERCÍCIO 02 Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m. Solução:  Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula.  Logo, no caso teremos: m = 0, o ponto ficaria P = ( -16, 0)