Outras Transforações de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

Transformada Discreta de Cosseno u = 0,1,2,...,N-1 Similarmente, a Transformada Inversa DCT é definida como: para x = 0,1,2,...,N-1

Transformada Discreta de Cosseno se u=0 se u=1,2,...N-1

Transformada Discreta de Cosseno O par correspondente bidimensional da DCT é: para u=v=0,1,2,...,N-1 para x=y=0,1,2,...,N-1

Transformação de Hotelling A Transformação de Hotteling, também conhecida como Autovetor, Análise dos Componentes Principais (PCA) ou Transformação Discreta de Karhumen-Loève, possui várias Propriedades estatísticas de uma representação vetorial que a tornam importante não somente para Processamento de Imagens mas para diversas outras áreas da ciência.

Transformação de Hotelling Considere um conjunto de vetores da forma: onde E{arg} é o valor esperado do argumento arg

Transformação de Hotelling Assim, a matriz de covariância de uma população de vetores é obtida tomando-se o valor esperado de cada elemento: onde T indica transposição

Transformação de Hotelling Uma vez que x é n-dimensional Cx é uma matriz n x n, onde cada elemento cii é a variância de xi e cada elemento cij, para i ≠ j é a co-variância entre os elementos xi e xj A matriz Cx é também uma matriz real e simétrica Se os elementos xi e xj não são correlacionados cij = cji = 0

Transformação de Hotelling Se o número de vetores de uma população for M, o vetor médio e a matriz de co-variância podem ser aproximados por:

Transformação de Hotelling Sendo Cx real e simétrica, sempre é possível encontrar um conjunto n autovetores ortonormais. Então, sejam ei e λi, para i = 1,2,...,n, os respectivos autovetores e correspondentes autovalores de Cx Seja A a matriz cujas linhas correspondem aos autovetores de Cx Por conveniência, a primeira linha de A corresponde ao maior autovalor, e as demais em ordem decrescente de autovalores correspondentes.

Transformação de Hotelling Suponha que A é uma matriz de transformação que mapeia cada elemento de x em um outro espaço denotado aqui por y: Essa transformação de mapeada por A é chamada Transformação de Hotteling, cuja matriz de co-variância pode ser obtida em termos de A e Cx como:

Transformação de Hotelling Uma observação importante é que Cy é uma matriz diagonal cujos elementos dessa diagonal são justamente os autovalores de Cx, isto é:

Transformação de Hotelling O principal efeito da Transformação de Hotteling é o alinhamento do eixo principal dos dados com o maior autovalor encontrado em um novo sistema de coordenadas cuja origem é o centróide da população. y1 y2 x1 x2 x1 x2 e1 e2 Essa observação mostra que a Transformação de Hotteling alinha os dados com os autovetores.

Transformação de Hotelling Um propriedade importante da Transformada de Hotelling é que o vetor original pode ser reconstruído a partir de A, uma vez que A = AT por ser formado de colunas de vetores ortonormais. Assim:

Transformação de Hotelling No entanto, suponha que ao invés de usar todos os autovetores, usemos somente os k correspondentes aos k maiores autovalores. Chamemos essa matriz de Ak Isso gera uma tranformação k x n. Y pode então ser k dimensional, e a reconstrução não será mais exata. Os valores originais reconstruídos usando Ak são representados equacionalmente como:

Transformação de Hotelling Pode-se mostrar, no entanto, que o erro médio quadrático que se comete ao substituir A por Ak na transformação inversa será: