Lógica Proposicional
Lógica Proposicional Até agora estudamos a Lógica de maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras de raciocínio comum em vários argumentos.
Formas de Argumento Exemplos: 1. . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. . Hoje não é segunda-feira. Hoje é sexta-feira. 2. . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou. . Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa. 3. . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável. . Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável.
Formas de Argumento Os 3 argumentos são da seguinte forma: . P ou Q . Não é o caso que é P Q As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais). P pode representar: Hoje é segunda-feira. Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
Formas de Argumento Com essa representação para P e Q, simbolizamos o argumento 1 do exemplo. Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias dessa mesma forma. Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.
Formas de Argumento A lógica trata de formas de argumentos que consistem de letras sentenciais combinadas com as expressões: Não é o caso que negação E conjunção Ou disjunção Se ... Então condicional Se e somente se bicondicional Essas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.
Formas de Argumento Conectivo Não é o caso que Essa epressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença, a negação da primeira. Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença ‘Ele é fumante'. Variações gramaticais dessa negação: ´Ele é não-fumante’, ´Ele não é fumante’ ´Ele não fuma’.
Formas de Argumento Conectivo E Uma composição constituindo-se de duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção. Exemplo: Chove e faz calor A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ... Chove mas faz calor
Formas de Argumento Conectivo Ou Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção. Exemplo: Chove ou faz calor
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Enunciados do tipo se... então ... chamam-se condicionais. O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente. Forma do condicional: Se antecedente então consequente Ex: Se sinto frio então visto o casaco
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Se antecedente então consequente O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente Se o antecedente for verdadeiro, o consequente também tem, necessariamente que ser verdadeiro
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Exemplo: Se é Juiz então é advogado e aprovado na OAB o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado para alguém ser juiz é necessário que seja advogado e aprovado na OAB, mas não são suficientes Além dessas condições, também é necessário ter dois anos de experiência e ser aprovado em concurso As quatro condições são necessárias para ser juiz. Neste caso, as 4 condições são suficientes para ser um juiz.
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica? Se o aluno foi aprovado então assistiu aula, estudou, fez muitos exercícios de lógica teve um bom método de estudo ......
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Exemplo: Se tem fumaça tem fogo ou O fogo é uma condição necessária para a fumaça Exemplo: Se chover então molha a rua é suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada o fato da rua ficar molhada não garante que choveu
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Uma proposição condicional também pode ser expressa na ordem inversa. Visto o casaco se sentir frio mantém a semântica de Se sentir frio, visto o casaco Se sentir frio então visto o casaco
Formas de Argumento Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional: Se P então Q P implica em Q; P, logo Q P só se Q; P somente se Q P apenas se Q; P só quando Q Q se P ; Q segue de P P é condição suficiente para Q Q é condição necessária para P
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais. Exemplo: T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se Um bicondicional pode ser considerado uma conjunção de dois condicionais: 1. P se e somente se Q 2. P se Q e P somente se Q 3. Se Q então P e P somente se Q 4. Se Q então P e Se P então Q que equivale a: 5. Se P então Q e Se Q então P
Formas de Argumento Formalização Para facilitar o reconhecimento e comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo: Não é o caso que: ~ ou ┐ E: ^ ou & Ou: v Se ... então: Se e somente se: Ordem de prioridade: ~ , ^, v, ,
Formas de Argumento Formalização Com os símbolos lógicos e os símbolos sentenciais, o Silogismo Disjuntivo é representado (simbolizado) na Forma Padrão: . P v Q . ~P Q Ou { P v Q , ~P} ├ Q
Formas de Argumento Formalização { P v Q , ~P} ├ Q O traço de asserção (afirmação), ├ , significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.
Formas de Argumento Formalização A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas, chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional. A palavra Cálculo é empregada no sentido de avaliação ou raciocínio e não no sentido de diferenciação ou integração O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é provar a validade de certas formas de argumento.
Formas de Argumento Formalização Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas. Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida. Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
Formas de Argumento Formalização Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo: O argumento da Mona Lisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto ‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa. O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as premissas forem verdadeiras, a conclusão será verdadeira.
Formas de Argumento Formalização Observe a seguinte forma de argumento: . Se P então Q. . Q. P Ou: {P Q, Q} |-- P Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida: Se você está dançando na Lua então você está vivo. Você está vivo. Você está dançando na Lua.
Formas de Argumento Formalização Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue e o represente na Forma Padrão. A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)
Solução: A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. . C . SA . CS {C, SA, CS} |-- A □ A
Formas de Argumento 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira]. 1 + 2 + 4 3 A Forma Padrão representa a estrutura do argumento.
Fórmula bem formada – wff – well-formed formula Qualquer letra sentencial é uma wff. Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é. Se Φ e Ψ são wff, então (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.
Exercícios: 1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são: a) ~~~R b) (~R) c) PQ d) ~(PQ) e) ~(~P ^ ~Q)
Exercício: Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar. a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado. (P,Q) c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. (Q,S) d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. (F,S,D)