(projetado sobre o plano) MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1 R  P1 (projetado sobre o plano) P2  (r’,) r’ esféricas: ds2=R2d2+R2sin2d2 transformação de coordenadas:

perímetro de um círculo geodésico r’ é fixo  dr’→0 área de um círculo geodésico

Como para uma superfície esférica: métrica de um plano em coordenadas polares deformação que uma esfera deve sofrer para tranformar-se num plano ou vice-versa.

reescrevendo x1=r’cos x2=r’sin Métrica válida para  superfície de curvatura constante de qualquer sinal Forma generalizada a um no de dimensões n

Métricas 3D para espaço de Ҝ constante x3 x1 x2   x1=r sin cos x2=r sin sin x3=r cos Em coordenadas esféricas : Forma + comum da métrica na cosmologia : Nota: a não é o raio próprio.

Ex. caso 2D Coordenadas (a,) R r a   r = raio próprio  medido sobre a superfície voltando a superfície 3D... Cálculo do raio próprio Fixando os ângulos  e :

APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA Definição: espaços de curvatura positiva e constante com K > 0 e constante raio próprio de uma esfera geodésica área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço)

r cresce: área máxima quando A área de uma esfera de raio próprio r imersa em um espaço de Ҝ > 0 e constante: r cresce: área máxima quando quando

O volume de uma esfera de raio a dentro de um espaço Ҝ > 0 e constante para uma métrica ortogonal : Vmáx  volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante: volume finito ! espaço de Ҝ > 0 e constante é finito mas sem bordas...

Espaço de Ҝ  0 e constante são infinitos Entretanto... Espaço de Ҝ  0 e constante são infinitos Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço de curvatura negativa Espaços deste tipo são ditos espaços infinitos Quando a→∞ V(a) →∞ Se Ҝ=0 , o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é: Tb quando a→∞ V(a) →∞ V(a)=(4/3)a3

Espaços Riemannianos Definição: sempre que ds2 for representado por uma forma diferencial qualdrática  MÉTRICA RIEMANNIANA Ex. para uma superfície Característica importante: métrica riemanniana é localmente euclidiana !!

Demonstração: nas viz. De um ponto P0, A0, B0 e C0 são números: Fazendo: Nas viz. De  ponto sobre uma superfície Riemanniana a métrica pode ser aproximada como uma métrica euclidiana ds2=dx’1+dx’2

Através de medidas de ângulos, perímetros ou áreas sobre uma dada superfície podemos medir a Ҝ Ir até as galáxias mais distantes e fazer medidas por triangulação (!!!!??)

Número de galáxias num dado volume Galáxias uniformemente distribuídas: aumentando o raio  aumenta o no de galáxias Se raio → 2raio: K=0: N → 8N k=+1: N < 8N k=-1: N > 8N

Modelos cosmológicos R(t) esférica hiperbólica