Katia S. Guimarães katiag@cin.ufpe.br Busca em Grafos Katia S. Guimarães katiag@cin.ufpe.br

Busca em Grafos OBJETIVO: Visitar todos os vértices e arestas do grafo de forma sistemática, para evitar repetições e conseqüente desperdício. Se o grafo é uma árvore enraizada, isto é, uma árvore na qual os vértices obedecem a uma hierarquia, a tarefa é simples. katiag@cin.ufpe.br

Busca em Árvores Enraizadas Busca em pré-ordem Raiz visitada antes dos descendentes A B C E F D katiag@cin.ufpe.br

Busca em Árvores Enraizadas 2. Busca em pós-ordem Raiz visitada depois dos descendentes B E F C D A katiag@cin.ufpe.br

Busca em Árvores Enraizadas 3. Busca em in-ordem Raiz é visitada entre os descendentes Só faz sentido para árvores binárias ou similares (2-3, B, etc.) (Applet) katiag@cin.ufpe.br

Algoritmo Pré-ordem Algoritmo Pré-ordem(raiz) Se raiz não nula então Visite (raiz) Pré-ordem (left.raiz) Pré-ordem (right.raiz) katiag@cin.ufpe.br

Algoritmo Pós-ordem Algoritmo Pós-ordem(raiz) Se raiz não nula então Pós-ordem (left.raiz) Pós-ordem (right.raiz) Visite (raiz) katiag@cin.ufpe.br

Algoritmo In-ordem Algoritmo In-ordem(raiz) Se raiz não nula então In-ordem (left.raiz) Visite (raiz) In-ordem (right.raiz) katiag@cin.ufpe.br

Busca em Grafos com Ciclos Se o grafo contém ciclos, é preciso cuidar para evitar que arestas sejam visitadas mais de uma vez. 3 7 2 5 1 4 6 katiag@cin.ufpe.br

Busca em Grafos com Ciclos Exemplo: A partir do grafo abaixo obtemos 1 6 4 2 3 7 5 3 7 2 5 1 4 6 katiag@cin.ufpe.br

Busca em Grafos com Ciclos Se o grafo não é uma árvore, nós definimos um subgrafo dele que é uma árvore, para servir de “espinha dorsal”. Algoritmo básico: Tome um vértice qualquer s. Marque s. Enquanto houver arestas não visitadas, tome uma aresta (v, w) incidente a algum vértice já marcado. Marque (v, w) (explorada) e v, w (visitados). katiag@cin.ufpe.br

Busca em Grafos com Ciclos Há duas técnicas principais para busca: Busca em Profundidade Tomar a aresta não marcada incidente ao vértice visitado mais recentemente. Busca em Largura Tomar a aresta não marcada incidente ao vértice visitado menos recentemente. katiag@cin.ufpe.br

Busca em Profundidade JAVA Applet para uma Busca em Profundidade JAVA Applet para Busca em grafo direcionado com pilha katiag@cin.ufpe.br

Controle para Busca em Profundidade Main Procedure Inicialize pilha Q como vazia; Desmarque todos os vértices e arestas; Tome um vértice v qualquer; Inclua v em Q; P(v); Remova v de Q.

Algoritmo para Busca em Profundidade Procedimento P(v) Marque v como visitado (cinza); Para toda aresta (v, w) incidente a v faça: Se w não marcado então /* aresta de árvore */ {d[w] time; time++; pred[w]  v; P(w) fim[w] time; time++} senão se w  pai(v) então /* aresta de retorno */ senão /* aresta de árvore */ katiag@cin.ufpe.br

Árvore de Busca em Profundidade A busca em profundidade biparticiona o conjunto de arestas em: 1 6 4 2 3 7 5 3 7 2 5 1 4 6 - Arestas de Árvore - Arestas de Retorno

Teorema 23.6 (Teorema dos parênteses) Em qualquer busca em profundidade de um grafo (direcionado ou não direcionado) G = (V, E), para quaisquer dois vértices u e v, exatamente uma das três condições vale: - Os intervalos [d[u],f[u]] e [d[v], f[v]] são disjuntos, - O intervalo [d[u],f[u]] está contido no intervalo [d[v],f[v]], e u é um descendente de v na árvore de busca em profundidade, ou - Vice-versa. 17

Corolário 23.7 (Nesting dos intervalos dos descendentes) Vértice v é um descendente próprio do vértice u na floresta de busca em profundidade de um grafo G sse d[u] < d[v] < f[v] < f[u]. 18

Variações de Busca em Profundidade O algoritmo de Busca em Profundidade é usado como controle para muitas aplicações em tempo linear. Ex. Componentes Biconexos (Tolerância a falhas em redes) Ex: No grafo ao lado, os seguintes subgrafos gerados permanecem conexos se cair um link qualquer: G{1, 6} G{3, 7} G{1, 2, 3, 4, 5} 1 6 4 2 3 7 5 katiag@cin.ufpe.br

Busca em Largura Cria um centro no vértice inicial e forma “níveis” ou “camadas” a partir deste nó. 1 6 5 1 6 4 5 3 7 4 2 3 2 7

Vértices Brancos, Cinza e Pretos - Brancos – Valor inicial - Cinza – Após serem descobertos - Pretos – Após a descoberta de todos os adjacentes. s s s 1 1 6 1 6 4 5 6 4 5 6 4 5 2 3 2 3 2 3 7 7 7 21

Busca em Largura Applet para Busca em Largura

Algoritmo para Busca em Largura Tome um vértice qualquer v. Coloque v na fila F. Enquanto F não for vazia faça v  Primeiro elemento da fila F Para toda aresta (v, w) incidente a v faça Se w não marcado então Inclua w em F /* aresta de árvore */ senão se v = pai (w) então /* aresta de árvore */ senão /* aresta de cruzamento */

Ao término de Busca em Largura A busca em largura biparticiona as arestas do grafo em arestas de árvore e arestas de cruzamento. 1 6 5 6 4 5 1 3 7 2 3 4 2 7 24

Correção de Busca em Largura (BL) Teorema 23.4 (Correção de BL) Seja G = (V, E) um grafo direcionado ou não direcionado, e suponha que o algoritmo BL é executado em G a partir de um dado vértive s  V. Então, durante a sua execução, BL descobre todo vértice v  V alcançável a partir do nó fonte s, e ao término, d[v] = distância (s, v) para todo v  V ...

Busca em Largura vs. Distâncias Teorema 23.4 (Correção de Busca em Largura) ...... Além disso, para qualquer vértice v <> s alcançável a partir de s, um dos menores caminhos de compr. mínimo de s a v é o caminho de s a pred(v) seguido pela aresta (pred(v), v).

Variações de Busca em Largura O algoritmo de Busca em Largura também é largamente usado como controle para aplicações em tempo linear. Ex. Broadcast de mensagens em uma rede 27

Referência Bibliográfica Leiam o Capítulo 23 do livro de Cormen, Leiserson, Rivest (Págs. 465 a 497). Não esqueçam os problemas. 28